Лекция № 6.

Геометрия комплексных отображений (окончание).

1⁰. Дополнение к предыдущей лекции.

На прошлой лекции мы установили, что всякое дробно-линейное отображение ω=переводит мноэество прямых и окружностей в себя. При этом всякое дробно-линейное отображение определяется заданием образов 3-х точек.

Выбор этих точек в нашем распоряжении. И поэтому конформных отображений, отображающих 1 область в другую, можно выбрать бесконечно много.

Пример 1.

Поэтому возникает вопрос о нахождении общего вида отображений 1 области на другую.

Ниже будет сформулирована общая теорема Римана, решающая данную проблему, однако для других областей вопрос решается явно.

Обратимся к примеру 1 и найдем:

20. Общий вид дробно-линейного отображения.

|z|<1 -> |ω|<1

При этом используем уже известные нам 2 принципа конформных отображений:

1. Принцип соответствия границ.

2. Принцип симметрии.

Z₀ – произвольно быбраннаяя фиксированная точка и 1) z₀ -> 0 => (по принципу симметрии) z₀*->∞

2) значит, z₀* =

Теперь ясно, что искомое дробно-линейное отображение имеет вид ω=λ, где λ – неизвестное комплексное число (не произвольно из-за принципа соответствия границ)

Множитель λ определим из условия:

|z|=1 -> U|ω|=1.

Это приводит, как нетрудно посчитать, к , так как на единичной окрестности |z|=1 точки z₀ и ₀ совпадают.

Вывод: |λ|=1 => λ=e^iα , 0<=α<=2π

Ответ: ω=e^iα

3⁰Пример 2. (отображение Imz>0 на |ω|<1)

λ определеяем из условия: если Imz=0, т.е. ОХ должна перейти в границу круга | ω|=1

Ясно, что |ω|=|λλ|1

|λ|=1 => λ=e^iα, 0<= α<2π

Ответ: ω=e^iα 0<= α<2π Imz₀>0

Замечание: Отметим очевидное сходство ответов в первом и втором случаях. В обоих случаях мы исходили из условий

1. f(z₀)= ω₀ (задаем)

2. e^iα- означает угол поворота.

оказывается, это общая ситуация.

Имеет место теорема Римана

Теорема Римана:

Всякую область G можно конформно отобразить на любую другую заданную комплексную область W бесчисленным множеством способов и единственным способом при двух дополнительных условиях:

1. f(z₀)=ω₀

2. argf’(z₀)= α, 0<=α<2π

(без доказательства)

Экспонента (ω=e^z)

1⁰. Определение. Периодичность.

Пусть z=x+iy тогда по определению

e^z=e^xe^iy=e^x(cosy+isiny)

Область определения ω=е^z есть вся С¹

Если ω=U+iV, то U=e^xcosy V=e^xsiny

Если же на С_ω введены полярные координаты ρ,θ, т.е. ω= ρe^iθ, то равенство

ω= e^xe^iy  ρ=e^x, θ=y, 0<=y<2π

Прояснить картину, что имеет место при других у позволяет

Утверждение1.

Функция ω=е^z периодична с периодом T=2πi

Действительно e^z+2π=e^x+i(y+2π)=e^xe^i(y+2π)=e^x(cos(y+2π)+isin(y+2π))=e^x(cosy+isiny)=e^z

Изучим с учетом этого утверждения геометрию экспоненциального отображения:

2⁰. Отображение полосы 0<=Imz<2π на С_ω¹\{0}

Утверждаем, что эта полоса взаимно-однозначно отображается на полную комплексную плоскость за исключением 0. Действительно посмотрим образ прямой. Имеем ρ=e^x, θ=y. Т.к. у фиксировано, то для любой z, такой, что у фиксированная попадает на этот луч. Ясно, что и любая другая полоса раствора 2π в силу периодичности е накрывает снова всю плоскость. Это означает, что при экспоненциальном отображении любая точка ω «накроется» отображением бесконечно много раз. (говорят, что экспонента есть бесконечно-листная функция).

3⁰. Логарифмическая функция.

Отображение обратное к экспоненциальному приводит к комплексной логарифмической функции.

и определяется соотношениями ρ=е^х, θ=у => x=lnρ=lnω, y=argω

=> z=ln|ω|+iargω==(по определению)==ln ω

Вывод. lnω= ln|ω|+iargω – главная ветвь большого логарифма.

Если ограничения отбросить, то логарифм становится бесконечнозначной функцией. вот как его обозначают:

Lnω=ln|ω|+iArgω

Замечание: обычно принято возвращаться к исходным переменным z и определять

Вычислить:

1. ln x, ln|-1|=πi

2. ln i

1. x – вещественный

lnx=ln|x|+iargx

1. x>0 argx=0 => lnx=lnx

2. x<0 lnx=ln|x|+iargx=ln|x|+iπ

2. lni=ln1+iπ/2=πi/2