Лекция № 7. Интегрирование функций комплексного переменного.

10. Определение

На кривой Г определена функция f(z): Г->C. Для определения разобьем Г на N частей точками A=A0, A1,… , Ak=B

На каждой дуге выберем произвольно точку ε_j и составим интегральную сумму σ_N (f)=

Определение

Разумеется, как в интегрировании для вещественного переменного, данный предел не должен зависеть от того, каким способом выбрано разбиение и средние точки ε_j.

Замечание:

При смене ориентации кривой Г, очевидно, интегральная сумма меняет знак, что выражается тем, что

, где

2⁰. Сведение к 2 вещественным интегралам.

Запишем интегральные суммы σ_N (f) в комплексной алгебраической форме:

Ясно, что f(ε_j)=U(ζ_j,η_j)+iV(ζ_j,η_j),/

ε_j= ζ_j+i η_j

/,а ,j=0…N-1

• σ_N (f)=

Таким образом, lim_λN->0σ_N(f)=

Из (1) Следствия:

Основные свойства комплексного интеграла точно такие же, как и у вещественных интегралов 2-го рода:

Смена знака при смене направления на кривой, аддитивность относительно промежутка интегрирования, линейность.

Формула вычисления:

Пусть Г задана в параметрической форме:

Г={(x,y): x=x(t), y=y(t), 0<=t<=T}

в комплексной форме эта запись имеет вид:

Г={z:z=z(t), где t

Утверждение:

Доказательство:

Очевидно, из (1), зная параметр t, сворачиваем полученные формулы в комплексный интеграл.

Замечание:

Из сказанного ясно, что для работы с комплексными интегралами можно ограничиться знаниями о вещественных криволинейных интегралах второго рода. Но для комплексного интегрирования выбраны специальные комплексные методы работы. (узнаем ниже).

Пример:

Г={z: z=z₀+Re^it} 0<=t<=2π z-z₀=Re^it

Г={z: |z-z₀|=R}

Вычислить

Ответ:

действительно, полагая z=z₀+Re^it, dz=Rie^itdt , имеем (z-z₀)ⁿ=Rⁿe^int и dz=iRe^itdt

Тогда

e^z=T=2πi

e^iz-T=2π

Если же n=1, то

Замечание:

3⁰. Интегральная теорема Коши.

Пусть G-односвязная ограниченная область в Г

Г-граница области G

Пусть, далее, в области G определена аналитическая функция f(z), причем непрерывная вплоть до границы Г

Теорема Коши:

В указанных условиях справедливо уравнение:

Доказательство:

Проведем доказательство при чуть более сильных условиях, а именно в предположениях, что частные произвольные

Действительно, по формуле сведения комплексного интеграла к двум вещественным интегралам (*)

Преобразуем (*) по формуле Грина

ч.т.д.

4⁰.Следствие.

Так как для многосвязной области

=>

Лекция № 8. Формула коши.

10. Окончание предыдущей лекции.

Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

G- многосвязная область с границей Г U {r₁, r₂,…r_N}

Теорема. Пусть f(z) аналитична в G и непрерывна вплоть до границы Г U {r₁, r₂,…r_N}, тогда

Доказательство:

«Превратим» область G в односвязную область с помощью N разрезов.

(γ₁⁺,γ₁^-)…(γ_N⁺,γ_N^-)

Получившаяся область очевидно односвязна => по теореме Коши для односвязной области

Г_N- граница получившейся односвязной области.

Остается заметить, что при обходе общей границы Г_N ориентация границ γ1…γN по часовой стрелке, т.е. обратная ориентация к той, котороя указана в формуле (1).

В итоге получим:

Или

Ч.т.д.

2⁰. Формула Коши.

Пусть, как и ранее, G – односвязная область с границей Г и f(z)

Тогда для любого z, принадлежащего G справедлива формула

Доказательство:

Тогда по теореме Коши , (*)

Ибо функция \{B_ε(z)}

Покажем, что при ε->0

Действительно имеем

1. 

Следовательно,

|Тем самым …

2. 

Возвращаемся к(*), получаем ответ

|

Замечание:

В конце доказательства мы воспользовались неравенством:

, где вещественный интеграл первого рода (по длине дуги).

dS – дифференциал дуги на Г.

Это свойство интегралов немедленно вытекает из соответствующего свойства для интегралов сумм с учетом очевидного неравенства.

, где |∆z_j| - длина хорды, dS_j – длина «дужки».

3⁰. Высшие производные.

Утверждение. Всякая аналитическая функция имеет производные любого порядка (2,3…).

Пусть f(z) тогда в любой z

Доказательство:

Т.к. свойство аналитичности есть локальное свойство функции fz) в сколь угодно малой окрестности точки z, то требование f(z)строго говоря, излишне, хотя для доказательства применим формулу Коши.

Ясно, что согласно этой формуле имеем

f’(z) = lim_∆z->0 = lim_∆->0

Итог: f’(z)=

Далее проводим аналитические выкладки, придем к формуле:

f’’(z)=

…

f⁽ⁿ⁾(z)=

f(z)=

k=

Замечание: Очевидно, что полученная серия формул получается из формулы Коши последовательным дифференцированием по z под знаком интеграла.