Лекции_2

Лекция № 1. Множества и операции над множествами.

Определение 1.

Совокупность объектов произвольной природы называется множеством. Объекты, входящие в множество, называются его элементами. Если x элемент множества А, то обозначают , если x не является его элементом, то обозначают . Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством ø.

Определение 2.

Пусть А и В множества. Множество А является подмножеством В, если каждый элемент А принадлежит В. Обозначаем: , т. е. .

Определение 3.

Говорят, что множества А и В равны, когда они состоят из одних и тех же элементов. Обозначаем: , т. е. .

Операции над множествами:

1. Объединение множеств.

Множество называется объединением множеств, если состоит из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А или В: .

2. Пересечение множеств.

Множество называется пересечением множеств, если состоит из элементов, каждый из которых принадлежит и множеству А и В: .

3. Разность множеств.

Множество называется разностью множеств (из А вычитаем В), если состоит из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит В: . Заметим, что .

3’. Дополнение одного множества до другого.

Пусть . Дополнением множества А до множества T называется множество .

Некоторые числовые множества.

– множество натуральных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

– множество всех действительных чисел.

Заметим, что .

Определение 4.

Пусть .

– отрезок;

– интервал;

– полуинтервал;

– полуинтервал.

Множества называются промежутками.

;

;

;

;

.

Множества называются бесконечными промежутками.

Некоторые свойства вещественных чисел.

1. Свойство упорядоченности.

.

2. Свойство непрерывности вещественных чисел.

Пусть А и В произвольные непустые подмножества множества R такие, что , тогда .

Модуль действительного числа.

Пусть . Тогда

Свойства ():

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Пусть , тогда

Лекция № 2. Ограниченные и неограниченные множества.

Определение 1.

Множество А называется ограниченным сверху (снизу), если (). Число М – верхняя грань, m – нижняя грань множества А.

Определение 2.

Множество А называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. .

Определение 2’ (эквивалентное).

Множество А называется ограниченным, если .

Доказательство.

Докажем, что определение 2 и 2’ эквивалентны, т.е. .

1. Пусть , т. е.

2. 

ч. т. д.

Определение 3.

Множество А называется неограниченным, если .

Доказательство.

1. Фиксируем . Пусть .

2. , т. к. .

ч. т. д.

Определение 4.

Наименьшая из всех верхних граней множества А называется его точной верхней гранью и обозначается supA.

Определение 5.

Наибольшая из всех нижних граней множества А называется его точной нижней гранью и обозначается infA.

Определение 4’.

Число М называется точной верхней гранью множества А, если

1. ;

2. .

Определение 5’.

Число m называется точной нижней гранью множества А, если

1. ;

2. .

Доказательство.

Докажем, что определение 4 и 4’ эквивалентны, т.е. .

1. 

Пусть М=supA – наименьшая из верхних граней множества А. Следовательно M – верхняя грань, т. е. (доказано св-во 1. опр. 4’).

Докажем от противного, т. е. пусть число – верхняя грань, причём , т. к. (доказано св-во 2. опр. 4’)М – наименьшая верхняя грань множества А.

2. 

Из свойства 1 следует, что М – верхняя грань. Пусть М – не наименьшая верхняя грань множества А , причём М’ – тоже верхняя грань.

Пусть . По свойству 2 для M’ – не верхняя грань множества А. Получили противоречие.

Т. к. по нашим предположениям M’ – верхняя грань, что оказалось неверным, то М – наименьшая верхняя грань.

ч. т. д.

Теорема 1.

Всякое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство.

Пусть А – непустое, ограниченное сверху множество хотя бы одна верхняя грань. Пусть Y – множество всех верхних граней множества А (ø). . Т. о. ø и ø.

по свойству непрерывности действительных чисел , отсюда

– верхняя грань, т. е.

– наименьшая верхняя грань, т. е. .

ч. т. д.

Лекция № 3. Числовая последовательность. Предел последовательности.

Определение 1.

Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных чисел называется числовой последовательностью и обозначается .

Определение 2.

Число a называется пределом последовательности , если . В этом случае обозначаем .

Определение 3.

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся.

Определение 4.

Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю, т. е. .

Теорема 1.

Пусть и – бесконечно малые последовательности, тогда

1. – бесконечно малая последовательность;

2. – бесконечно малая последовательность;

Доказательство.

1. Докажем, что если и – бесконечно малые последовательности, тогда и бесконечно малая последовательность.

Нужно доказать, что . Фиксируем и обозначим его .

– бесконечно малая последовательность. В частности для .

– бесконечно малая последовательность. В частности для .

Пусть – бесконечно малая последовательность.

2. Докажем, что если и – бесконечно малые последовательности, тогда и бесконечно малая последовательность.

Нужно доказать, что . Фиксируем и обозначим его .

– бесконечно малая последовательность. В частности для .

– бесконечно малая последовательность. В частности для .

Пусть – бесконечно малая последовательность.

ч. т. д.

Следствия из теоремы 1.

1. Сумма любого конечного фиксированного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2. Произведение любого конечного фиксированного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 2.

Пусть – бесконечно малая последовательность. Пусть – ограниченная последовательность. Тогда тоже бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

– ограниченная последовательность .

Фиксируем . – бесконечно малая последовательность . Следовательно – бесконечно малая последовательность.

ч. т. д.

Следствие из теоремы 2.

Пусть – бесконечно малая последовательность. Тогда для последовательность тоже бесконечно малая.

Доказательство.

– ограниченная последовательность – бесконечно малая последовательность.

ч. т. д.

Определение 5.

Последовательность называется бесконечно большой, если . В этом случае обозначаем .

Теорема 2. …

Лекция № 5. Монотонные последовательности. Число .

Определение 1.

Последовательность называется монотонно возрастающей, если .

Определение 2.

Последовательность называется монотонно неубывающей, если .

Замечание.

Всякая возрастающая последовательность является неубывающей, однако неубывающая последовательность может не быть возрастающей.

Определение 3.

Последовательность называется монотонно убывающей, если .

Определение 4.

Последовательность называется монотонно невозрастающей, если .

Замечание.

Всякая убывающая последовательность является невозрастающей, однако невозрастающая последовательность может не быть убывающей.

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными.

Теорема 1.

Если последовательность монотонно не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то такая последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

Пусть, например, последовательность монотонно не убывает и ограничена сверху.

ограничена сверху

.

не убывает .

Таким образом

ч. т. д.

Замечание.

Из доказательства теоремы видно, что

1. если не убывает и ограничена сверху, то ;

2. если не возрастает и ограничена снизу, то .

Теорема.

Пусть и – бесконечно малые последовательности, тогда

3. – бесконечно малая последовательность;

4. – бесконечно малая последовательность;

Следствия из теоремы.

3. Сумма любого конечного фиксированного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

4. Произведение любого конечного фиксированного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.