- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Доказательство.
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательства:
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теоремы существования и единственности.
Точной верхней гранью числового множества () называется число, такое что:
1) S- верхняя граница ( ).
2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что
>-. ( >-)
Точной нижней гранью числового множества () называется число, такое что:
1) S- нижняя граница ( ).
2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
+. ( +)
Теорема существования: Пусть , , ограниченное сверху (снизу), тогда существует точная верхняя (нижняя) грань.
Замечание: (аксиома непрерывности множества действительных чисел).
Пусть , , и , , причем и : . Тогда
: и .
, , ограничено сверху.
, .
, и ,.
и
1)
2) >-
Предположим противное:
:.
- ,
. Получили противоречие.
Аналогично для =.
Теорема единственности: Если числовое множество не пусто и ограничено сверху (снизу), то у него есть единственная ().
Введем следующие условия:
1) числовое множество ограничено сверху, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .
2) числовое множество ограничено снизу, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .
Доказательство:
Рассмотрим множество , состоящее из всех чисел , таких что для любого числа из множества будет . Такие числа существуют, так как множество ограничено сверху. В силу непрерывности множества действительных чисел существует такое число , что для любых чисел (из) и (из).
Покажем, что =. По определению , для всех чисел из множества будет , так что первое условие выполнено. Проверим, что выполнено и второе условие. Предположим, что оно не выполнено, т.е. есть такое положительное число (>0), что для всех чисел из множества будет . Так как , то число не принадлежит множеству . Но это противоречит определению множества , которое было множеством всех чисел , таких что для любого числа из множества будет , а мы нашли число , тоже обладающее таким же свойством и не принадлежащее множеству . Полученное противоречие показывает, что для числа выполнено и второе условие из определения верхней грани.
БИЛЕТ 2. Лемма о вложенных отрезках.
Пусть =, =1,2,…, причем …, то есть ,
. Тогда , то есть .
Доказательство.
Рассмотрим , , ограничено сверху, так как любое является верхней границей множества в силу вложенности отрезков. . Тогда:
а) - верхняя граница , то есть .
б) - наименьшая из всех границ, то есть.
.
Замечание: Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.
.
( ] ] ] ]
0 1/3 1/2 1
БИЛЕТ 3. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
Определение: функцию называют числовой последовательностью.
- члены числовой последовательности.
- номер члена числовой последовательности.
или ,
=, -общий член.
Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа (>0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .
Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.
Доказательство:
Пусть , , .
Для определенности имеем:
.
< <
<. <.
Противоречие.
Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.
- сходящаяся : .
Возьмем =1 .
Обозначим , тогда
, тогда
Отсюда для обоих случаев
Замечание: обратное не верно.
БИЛЕТ 4. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.
Теорема: (о предельном переходе в неравенство):
Пусть , . . Тогда .
Замечание:
.
Доказательство (от противного):
Пусть .
Возьмем .
Обозначим
.
- противоречие.
Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что . .
=, =, .
Теорема (о промежуточной последовательности).
Пусть , и . Тогда существует .
Замечание:
().
Доказательство:
Возьмем произвольный .
. Тогда . . ().
.
Теорема: (об отделимости от нуля).
Пусть и . Тогда .
Замечание: - ограниченная.
().
.
.
БИЛЕТ 5. Бесконечно малые и ограниченные последовательности. Арифметика бесконечно малых последовательностей.
Определение: Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью, если , то есть .
Теорема: бесконечно малая последовательность.
(I)-
(II)-
(I) (II) =
(II)(I) =
Замечание: Фактически мы дали эквивалентность определений сходящейся последовательности.
Определение: Последовательность будем называть ограниченной последовательностью, если .
Замечание: Ранее мы доказали, что всякая сходящаяся, в том числе и бесконечно малая последовательность ограничена.