Доказательство:

Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (1)

А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (2)

Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.

БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.

Определение: -точка разрыва функции , если в точке функцияне является непрерывной.

Определение: точка-точка устранимого разрыва функции , если существует , но не определена в точке , либо .

Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:

- непрерывна в точке .

Пример: .

, - точка устранимого разрыва .

Если не существует, то -точка неустранимого

разрыва .

Определение: Пусть точка-точка неустранимого разрыва функции , тогда:

1. если существует , то .

2. если, то -точка разрыва функции 1-го рода.

3. если, то -точка разрыва функции 2-го рода.

Примеры:

1). .

,

- точка разрыва 1-го рода.

2). .

,

- точка разрыва 2-го рода.

3).

,

- точка разрыва 2-го рода.

4).

не существует точка - точка разрыва 2-го рода.

, . Точка - точка разрыва 2-го рода.

БИЛЕТ 22. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.

Определение: непрерывна на , если непрерывна в точке ,

непрерывна на , если непрерывна в точке , и

Существует , .

Теорема: Пусть определена на и , причем . Тогда

.

Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.

Обозначим: , .

Определим

1) =0.

2) < 0, .

3) > 0, и так далее.

.

.

По лемме о вложенных отрезках: , то есть .

непрерывна в точке

.

.

0 ()

.

.

0 ()

Следствие (т. О промежуточном значении непрерывной функции):

Пусть определена на и , , ,

Тогда : .

Пусть для ограничения .

Рассмотрим произвольн. :

непрерывна на .

Из этих двух утверждений следует:

, то есть .

БИЛЕТ 23. Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда ограничена на.