Доказательство:

Докажем, что .

Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…

Получим :

1)

2)

Из этих определений получаем .

=> -подпоследовательность последовательности :

.

-непрерывна в точке => .

-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.

Замечание: Замкнутость по существу. , , но

Не является ограниченной на .

БИЛЕТ 24. Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть . Тогда

Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.

Доказательство:

По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть .

(<)- верхняя граница. , то есть .

Противоречие.

Следствие: если , то .

БИЛЕТ 25. Равномерная непрерывность и непрерывность в точке. Теорема Кантора (без доказательства).

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

.

Функция, непрерывная на отрезке.

Определение: Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Теорема Кантора: Если функция непрерывна на отрезке , то для любого можно указать такое , что для любых и из таких, что .

+ БОНУС

Доказательство:

Возьмем число . Построим на отрезке точки следующим образом: если точка уже построена, то рассмотрим множество , состоящее из всех точек , удовлетворяющих неравенствам: , .

Положим (см. рисунок), что:

если пусто (и на этом построение заканчивается).

если не пусто.

Заметим, что в силу непрерывности и для любого из отрезка . Последовательность может быть конечной или бесконечной. Предположим, что она бесконечна, тогда для всех . Пусть . Так как

, то функция непрерывна в точке слева, и потому можно указать такое число

, что и для любого из интервала . По определению числа можно найти в интервале . Тогда любое число из интервала принадлежит интервалу , и потому

, что противоречит тому, что . Таким образом, последовательность не может быть бесконечной, и потому существует такой номер , что . Положим: . Возьмем два любых числа

и из отрезка таких, что . Тогда возможны два случая: или обе эти точки попали на некоторый отрезок и тогда , или этого не случилось, и тогда найдется точка между и . Но в этом случае , так как и (доказывается аналогично) , а потому. Так как все приведенные рассуждения справедливы для любого , то теорема доказана.

Смысл этой теоремы состоит в том, что для всех точек отрезка можно по заданному числу подобрать общее для всех точек число (фигурирующее в определении). Для функций, непрерывных на интервале это можно сделать уже не всегда.

БИЛЕТ 26. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Понятие производной функ­ции.

Определение: Пусть функция f(x) определена в окрестности точки .Если ее приращение можно представить в виде ,то говорят ,что f(x) дифференцируема в точке (иногда пишут -величина более высокого порядка, чем а это означает, что )

-линейная функция от .Она называется дифференциалом функции f(x) и обозначается

Пример:

Критерий дифференцируемости:

Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.

Доказательство:

1.Необходимость. f(x) дифференцируема в точке это означает . Разделим это равенство на и перейдем к пределу ,т.е. существует , т.е. производная существует.

2.Достаточность. Пусть существует или

, т.е. f(x) дифференцируема в точке .

Итак, , т.е. .Отсюда следует новое обозначение производной и эту величину можно рассматривать как один символ, так и как частное дифференциалов.

Понятие производной функции.

Определение: Производной функции в точке называется предел Очень удобна более короткая запись для этого предела и более короткое обозначение для производной .

БИЛЕТ 27. Алгебраические свойства дифференцируемых функций.

Теорема: Если функции и имеют производные, то

1) .

2) .

3) (постоянная).

4) .

Доказательство: По теореме об арифметике пределов функций, по определению производной и формулам: , и имеем:

1).

.

2).

===++

+==, так как множители и не зависят от и при являются постоянными, а , поскольку имеет производную и потому непрерывна.

3). (так как ).

4). =.

БИЛЕТ 28. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого диф­ференциала.