-
Ограниченные и неограниченные вещественные множества. Примеры.
Определение.
Совокупность объектов произвольной природы называется множеством.
Объекты, входящие в множество, называются его элементами.
Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством ø.
Определение.
Множество А называется ограниченным
сверху (снизу), если
(
).
Число М – верхняя грань, m
– нижняя грань множества А.
Определение 1.
Множество А называется ограниченным,
если оно ограничено сверху и снизу, т.
е.
.
Определение 2.
Множество А называется ограниченным,
если
.
Доказательство эквивалентности.
Определение.
Множество А называется неограниченным,
если
.
-
Теорема существования точной верхней грани ограниченного множества.
Определение.
Наименьшая из всех верхних граней множества А называется его точной верхней гранью и обозначается supA.
Наибольшая из всех нижних граней множества А называется его точной нижней гранью и обозначается infA.
Определение.
Число М называется точной верхней гранью множества А, если
1.
;
2.
.
Число m называется точной нижней гранью множества А, если
1.
;
2.
.
Теорема.
Всякое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
-
Теорема единственности существования точной верхней грани ограниченного множества.
Теорема.
Всякое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество имеет единственную точную верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство.
-
Ограниченные последовательности. Примеры.
Определение.
Последовательность
называется ограниченной, если
.
-
Бесконечно большие последовательности. Примеры.
Определение.
Последовательность
называется бесконечно большой, если
.
В этом случае обозначаем
.
-
Бесконечно малые последовательности. Примеры.
Определение.
Последовательность
называется бесконечно малой, если её
предел равен нулю, т. е.
.
В этом случае обозначаем
.
-
Арифметические свойства бесконечно малых последовательностей.
Свойства.
Любая конечная линейная комбинация бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.
Следствие: Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.
Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Следствие: Произведение конечного
числа бесконечно малых последовательностей
является бесконечно малой.