8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность.

Теорема.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство.

9. Теорема о промежуточной бесконечно малой последовательности.

Теорема.

Пусть и – две бесконечно малые последовательности и – третья последовательность, удовлетворяющая неравенству , тогда тоже бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

10. Связь бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.

Теорема.

Пусть последовательность бесконечно большая, тогда бесконечно малая.

Доказательство.

11. Предел числовой последовательности. Примеры.

Определение.

Число a называется пределом последовательности , если . В этом случае обозначаем .

12. Единственность предела числовой последовательности.

Теорема.

Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на одной прямой только один предел.

Доказательство.

По определению предела вне окрестности U в точке а, в частности, в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности . Однако точка b также является её пределом, и потому в её окрестности V должны находиться все члены последовательности , начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много её членов. Получилось противоречие.

13. Ограниченность сходящейся последовательности.

Теорема.

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство.

14. Арифметические свойства пределов последовательностей.

Свойства.

Конечная линейная комбинация сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью, причём .

Если последовательности и сходятся, то их произведение также сходится, причём .

Если последовательности и сходятся, для всех номеров n имеет место неравенство и , то последовательность сходится, причём .

15. Лемма об отграниченности последовательности от нуля.

Лемма.

Доказательство.

16. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.

Теорема.

Доказательство.

Следствие.

Доказательство.

17. Теорема о пределе промежуточной последовательности.

Теорема.

Пусть , тогда .

Доказательство.

18. Монотонные последовательности. Предел. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности.

Определение.

Последовательность называется монотонно возрастающей, если .

Последовательность называется монотонно неубывающей, если .

Замечание.

Всякая возрастающая последовательность является неубывающей, однако неубывающая последовательность может не быть возрастающей.

Определение.

Последовательность называется монотонно убывающей, если .

Последовательность называется монотонно невозрастающей, если .

Замечание.

Всякая убывающая последовательность является невозрастающей, однако невозрастающая последовательность может не быть убывающей.

Теорема.

Если последовательность монотонно не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то такая последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

Пусть, например, последовательность монотонно не убывает и ограничена сверху.

ограничена сверху

.

не убывает .

Таким образом .

19. Число е.

20. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема.

Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство.

21. Лемма о стягивающихся отрезках.

Определение.

Последовательность отрезков называется последовательностью вложенных отрезков, если .

Лемма.

Пусть – последовательность вложенных отрезков, причём длины отрезков . Тогда .

22. Частичные пределы последовательности. Критерий сходимости.

Определение.

Выберем из последовательности бесконечное число элементов с номерами . Получаем новую последовательность . Тогда – подпоследовательность последовательности .

Частичный предел (конечный или бесконечный, определённого знака) подпоследовательности последовательности называется частичным пределом последовательности .

23. Критерий Коши сходимости.

Теорема.

Последовательность сходится .

Доказательство.

24. Наибольший и наименьший пределы последовательности. Существование наибольшего (верхнего) предела ограниченной последовательности.

25. Характеристика верхнего предела на … языке.

26. Предел функции в точке. Пример.

Пусть функция определена в проколотой окрестности .

Определение 1 (по Каши).

Число b называется пределом функции при , если .

Определение 2 (по Гейне).

Число b называется пределом функции при , если .

Доказательство эквивалентности.

27. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел .

Доказательство.

Рассмотрим окружность с центром в точке О, радиуса 1. Проведём ОМ, составляющий с осью ОХ угол х радиан, где .

Продолжаем ОМ до пересечения с перпендикуляром к оси ОХ

Заметим, что cosx и чётные функции

Второй замечательный предел .

28. Арифметические свойства пределов функций.

Свойства.

Пусть и определены в некоторой и , тогда

1. 

2. 

3. 

Доказательство.

Докажем свойство (1) по определению по Гейне:

Рассмотрим

Тогда по свойствам пределов последовательностей

Т. о.

29. Предельный переход в неравенствах для функций.

Теорема.

Доказательство.

30. Предел промежуточной функции.

Теорема.

Доказательство.

31. Определение предела функции по Коши. Эквивалентность определению по Гейне.

Пусть функция определена в проколотой окрестности .

Определение 1 (по Каши).

Число b называется пределом функции при , если .

Определение 2 (по Гейне).

Число b называется пределом функции при , если .

Доказательство эквивалентности.

32. Бесконечно малые функции. Таблица бесконечно малых функций.

Пусть функция определена в проколотой окрестности .

Определение.

Функция называется бесконечно малой при , если

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

33. Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть и – бесконечно малые функции при . Пусть .

Возможны три случая:

1. Тогда функция – бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Обозначаем:

Пример

2. Тогда функции и – бесконечно малые одного порядка.

Пример

3. Тогда функции и – эквивалентные бесконечно малые функции.

Обозначаем:

Пример:

34. Эквивалентные бесконечно малые функции. Раскрытие неопределённости вида с помощью эквивалентных бесконечно малых.

Теорема.

Пусть и – бесконечно малые функции при , тогда и – эквивалентные бесконечно малые функции при

Доказательство.

Раскрытие неопределённости вида .

35. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности.

Теорема.

Пусть и – бесконечно малые функции при , тогда и – эквивалентные бесконечно малые функции при – бесконечно малая более высокого порядка, чем и .

Доказательство.

36. Непрерывные функции. Различные определения.

Пусть функция определена в проколотой окрестности .

Определение 1.

Определение 2.

Определение 3.

37. Непрерывность элементарных функций .

38. Арифметические свойства непрерывных функций.

Свойства.

Доказательство.

39. Непрерывность сложной функции.

Теорема.

Доказательство.

40. Теорема о нуле непрерывной функции.

41. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.

42. Первая теорема Вейерштрасса.

43. Вторая теорема Вейерштрасса.

44. Односторонние пределы. Связь с обычным пределом.

Пусть функция определена на интервале .

Определение.

Пусть функция определена на интервале .

Определение.

Предел функции справа и предел функции слева называются односторонними пределами.

Теорема.

Доказательство.

45. Классификация точек разрыва.

Определение.

Пусть функция определена в некоторой окрестности за исключением самой точки a. Тогда точка а называется точкой разрыва функции , если не является непрерывной в точке а.

Классификация.

1. Точка a называется точкой разрыва I рода, если существуют конечные односторонние пределы . Если кроме того односторонние пределы совпадают, то точка а называется точкой устранимого разрыва.

2. Точка а называется точкой разрыва II рода, если она не является точкой разрыва I рода.

Примеры:

46. Производная функции. Примеры. Таблица производных.

Определение.

Пример:

Таблица производных.

47. Производная функции. Критерий дифференцируемости.

Теорема.

Доказательство.

Определение.

Главная (линейная) часть дифференцируемой функции называется её дифференциалом и обозначается символом .

По определению .

48. Непрерывность дифференцируемой функции.

Утверждение.

Если функция непрерывна, то она дифференцируема.

Доказательство.

49. Правила дифференцирования. Доказательство формулы дифференцирования произведения.

Правила дифференцирования.

Доказательство.

50. Правила дифференцирования. Доказательство формулы дифференцирования частного.

Доказательство.

51. Дифференцирование сложной функции.

Теорема.

Доказательство.

52. Геометрический смысл производной.

53. Дифференциал функции. Связь дифференциала с приращением функции. Применение к приближенным вычислениям.

Применение к приближенным вычислениям.

54. Геометрический смысл дифференциала.

55. Обратные функции. Теорема существования обратной функции.

Определение.

Теорема.

Доказательство.

В силу строгой монотонности любое x соответствует единственному y и наоборот. Для строго обоснования утверждения достаточно установить взаимную однозначность Это есть следствие условия строгой монотонности отображения .

Доказано, если бы одному y соответствовало бы два значения , то это означало бы, что , что противоречит строгой монотонности функции.