Производная сложной функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке ,а функция z=F(y) имеет производную в точке , тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x)) имеет производную в точке .

Доказательство: Функция f(x) непрерывна в окрестности точки , функция F(y) непрерывна в окрестности точки , поэтому в окрестности точки существует сложная функция Ф(x).Функция F(y) имеет производную в точке , поэтому она дифференцируема в этой точке.

(\/)

-бесконечно малая более высокого порядка, чем , но может быть неопределенна в точке =0, поэтому мы доопределяем ее по непрерывности в точке 0 : .Разделим равенство (\/) на :

F(y)=F(y(x))=Ф(x) и тогда равенство запишем в виде . Перейдем к пределу

. окажем, что , то y=f(x) непрерывна в окрестности точки , т.е. (и стремятся к 0 одновременно), т.е. (т.к. бесконечно малая более высокого порядка, чем ), а , т.о. получим формулу .

Инвариантность формы первого дифференциала.

Дифференциал первого порядка имеет тот же самый вид: произведение производной функции на дифференциал аргумента , независимо от того, является аргумент независимой переменной или зависимой.

z-независимая переменная , y-зависит от x

Если y=f(x), то

БИЛЕТ 29. Теорема Ферма.

Теорема Ферма (необходимое условие extr):

Пусть определена на интервале (a,b) и точка если в точке функция f(x) достигает max или min значения и в точке существует производная, то f’()=0.

Доказательство.

Пусть для определенности в точке принимает max значение, т.е . В точке существует производная , тогда (правая и левая производная).Распишем отношение

переходя в этих интервалах к пределу, получим

Замечание.

Теорема носит локальный характер, т.е. точка является локальным экстремумом.

Геометрический смысл теоремы.

В предположение теоремы всегда существует точка, в которой касательная к графику функции параллельная OX.

БИЛЕТ 30. Теорема Ролля.

Теорема Ролля:

Пусть функция y=:

1) непрерывна на отрезке [a,b];

2) дифференцируема (a,b);

3) f(a)=f(b), тогда

Доказательство.

Функция f(x), непрерывна на [a,b] достигает на нем max M и min m значения, т.е . Возможны два случая.

1) и

2) ,тогда либо максимальное значение f(x) либо минимальное значения f(x) достигается внутри интервала (a,b) (не на конце отрезка [a,b]).(f(a)=f(b)). , тогда достигает максимального или минимального значения во внутренней точке интервала (a,b) и по теореме Ферма

Все условия теоремы Ролля существенные. Если выполняется, только 2 из 3(см. картинку), то не существует точка причем (касательная параллельная оси ОХ).

БИЛЕТ 31. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).

Теорема Лагранжа.

Пусть функция f(x)

-непрерывна на отрезке [a,b];

-дифференцируема на интервале (a,b);

Тогда (формула конечных приращений)

Доказательство.

Рассмотрим функцию .Параметр выберем из условия F(a)=F(b)

Функция F(x) удовлетворяет всем условием т.Ролля (она непрерывна и дифференцируема, как сумма непрерывных и дифференцируемых функций )

Геометрический смысл.

В предположение теоремы существует точка :касательная к графику функции параллельна секущей(хорде).

Следствие.

Пусть f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a,b). И в каждой точке интервала (a,b) , тогда f(x)=const.

Доказательство.

Пусть x1 и x2 две произвольные точки интервала(a,b),тогда , точка лежит между этими точками x1 и x2, по условию , т.е f(x)=const(в силу произвольности выбора x1 и x2).

БИЛЕТ 32. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).

Теорема Коши.

Пусть функции и g(x) определены на интервале (a,b)

1) и g(x) непрерывны на [a,b];

2) и g(x) дифференцируемы на (a,b) причем , тогда

Доказательство.

Рассмотрим функцию параметр выбрали из условия

.

Для функции F(x) выполнены условия теоремы Ролля. Формулировка теоремы Ролля Сравнивания формулы для , получим утверждение теоремы.

Следствие.

Теорема Лагранжа. Если ,то .

БИЛЕТ 33. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Правило Лопиталя.

Для раскрытия неопределенности вида .Пусть и g(x) определены в окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а и . И пусть в окрестности точки а существуют . Если существует , то и эти пределы равны.

Доказательство.

1. а - конечное число. Доопределим функции и g(x) в точке х=а, по непрерывности: f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отношение . Здесь (использовали теорему Коши). Перейдем к пределу при (т.к и если , то ).

2. надо сделать замену, x=1/t, тогда , и правило применяется к новой функции .

Теорема 2.

Пусть и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки а и .Если , то и они равны.

Замечание.

В формулировке теорем необходимо потребовать, чтобы .

-теорема 1 доказана. -теорема 2 формулировка.

.

Пример, когда нельзя применять правило Лопиталя .

Вычислим предел отношения производных он не существует, т.к. не существует предел числителя и знаменателя. Правило Лопиталя применять нельзя.

Вычислить.

БИЛЕТ 34. Формула Тейлора.

Формула Тейлора.

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , где -бесконечно малая более высокого порядка чем . , где линейная функция, причем .

Можно расписать, что , т.е в окрестности точки функция f(x) ведет себя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции y=f(x) найти многочлен порядка n, который обладает следующими свойствами:

Многочлен будем писать в виде

первые равенства получаются путем дифференцирования формулы для и подстановки . Вторые равенства - это требуемые свойства .f(x) у которого существует производная до n порядка включительно можно найти коэффициенты

Многочлен , , многочлен Тейлора для функции f(x).

Обозначим

Рассмотрим функцию и вычислим

Т.о получим ,остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функцияf(x) определена на интервале (a,b) и в каждой точке x0 принадлежащей интервалу (a,b) имеем производную до n порядка включительно, тогда , где

Единственность многочлена Тейлора.

Пусть функция представлена в окрестности точки многочлена вида

Доказательство.

Если где её многочлен Тейлора и есть у нас другой многочлен надо показать, что коэффициенты одинаковы

Пусть сократим на

. пусть сократим на и т.д. многочлен Тейлора единственен.

БИЛЕТ 35. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.

На рисунке нарисован график функции , всюду имеющей производную. В точке касательная к и ось образуют острый угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный , положителен. Но . Следовательно, . И так будет в любой точке интервала , где функция монотонно возрастает. Напрашивается вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно возрастает. Далее, в точке касательная к образует с осью тупой угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный отрицателен. А так как , то . Вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно убывает. В точке функция имеет максимум. На чертеже ясно, что в этой точке касательная к параллельна оси , и поэтому ее угловой коэффициент равен нулю, так что . При этом слева от этой точки, а справа .

Теорема (достаточный признак монотонности).

1). Если на отрезке , то монотонно возрастает на .

2). Если на отрезке , то монотонно убывает на .

Доказательство:

Возьмем любые числа и , причем <, из интервала . По формуле Лагранжа получаем: , , и поэтому принадлежит интервалу . Так как , то в первом случае , то есть , а во втором , то есть , что и требовалось доказать.

БИЛЕТ 36. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.

Теорема 1. Необходимое условие экстремума.

Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), то f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.

В точке х1 – min; в точке х2 – max.

Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.

Пусть f(x) дифференцируема в некой окрестности точки х0, и в точке х0 f(x) непрерывна. Если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 является точкой строгого экстремума, при этом 1)если при , а при

то в точке х0 – минимум. 2)если при , а при то в точке х0 максимум.

Доказательство.

Докажем 1) .Теорема Лагранжа . а) Если х-х0>0 и . б) если х-х0<0 и , т.е при переходе через точку х0 не меняет свой знак: >0, т.е точка х0-точка минимума.