Лекция № 5.

Дробно-линейные отображения (продолжение).

0⁰. Напоминание.

Остановились на том, что любая дробно-линейное отображение переводит семейство окружностей и прямых на плоскости Z в семейство же окружностей и прямых на W.

Если фигура проходит через δ, то происходит инверсия: окружность переходит в прямую, прямая – в окружность. Этот факт наводит на предположение.

Любое дробно-линейное отображение можно однозначно определить, если знать образы, 3 точки. Эта догадка приводит к верным результатам.

1⁰. Теорема единственности дробно-линейного отображения.

Для исследования этого вопроса потребуется

лемма (о неподвижных точках).

Всякое дробно-линейное отображение, отличное от тождественного, имеет не более двух неподвижных точек.

Доказательство:

ω=f(z) – то точка z называется неподвижной точкой отображения f(z), если f(z)=z. В случае ω=f(z), где f(z)=(az+b)/(cz+d) имеем

=> cz²+(d-a)z-b=0

1) c=0 одна неподвижная точка

2) с<>0 две неподвижные точки

z_1,2=

если же (a-d)²+4bc=0 получаем 2 слипшиеся точки.

В любом случае получаем не более двух неподвижных точек.

ч.т.д.

Теорема. (единственности дробно-линейных отображений)

Такое дробно-линейное отображение однозначно определяется заданием своих значений в трех различных точках.

Доказательство: Заданы 3 различных точки z₁, z₂, z₃ на Z. Пусть ω=f(z)=имеет в этих точках значения ω₁, ω₂, ω₃.

Действительно, пусть еще некоторое дробно-линейное g/n отображение ω=g(z) также переводит z1, z2, z3 в ω1, ω2, ω3. алгоритм

Но тогда сквозное отображение g^-1[f(z)]==z  f(z)=g(z).

ч.т.д.

Перейдем к выводу формулы, дающей дробно-линейное отображение по образам 3-х точек, т.е. теоремы существования.

2⁰. Теорема существования дробно-линейного отображения.

Теорема.

Дробно-линейное отображение, переводящее тройку (z1, z2, z3) -> (ω1, ω2, ω3) (все различные) существует и определяется формулой:

(*) , причем, если среди чисел z_i, ω_i (I = 1, 2, 3) имеется ∞, то соответствующую разность заменяют единицей.

Доказательство:

Докажем, формулу (*) вначале для частного случая ω₁=0, ω₂= ∞, ω₃ = 1.

Ясно, что при переводитz₁ -> 0, z₂->∞.

λ

Рассмотрим общий случай.

Очевидно, отображение ω может быть найдено, как неявная функция из уравнения f(ω) = g(z)

Это и есть искомая формула (*)

ч.т.д.

Пример.

z1=3 ω1=0

z2=∞ ω2=7

z3=-i ω3=1-i

3⁰. Отображение областей, ограниченных прямыми и окружностями.

Заметим, что к таким областям относятся круги , внешности кругов, полуплоскостии так далее.

Теорема 1. Любая из областей, указанных выше, отображается на любую область этого же типа с помощью дробно-линейной функции

Основано на 2-х принципах:

1. всеобщий принцип соответствия границ

=> если конформное отображение f(z): C1->ω, то область на плоскости С2. граница области С1 переходит строго в границу области W.

2. для дробно-линейного отображения – принцип симметрии

=> связан с дробно-линейным отображением. относится к точкам симметричным относительно прямых и окружностей

Теорема 2. При любом дробно-линейном отображении симметричные точки переходят в симметричные точки.

Эти 2 принципа позволяют утверждать, что справедлива Теорема 1: любая ара областей с границами, прямыми и окружностями может быть взаимно отображена с помощью дробно-линейного отображения, причем бесчисленным множеством способов.

верхняя полуплоскость