Лекция № 11.
10. Теорема единственности аналитических функций.
Теорема.
Если 2 аналитические функции совпадают друг с другом хотя бы в сколь угодно малой окрестности, то они совпадают и всюду, где они определены.
Строго: Пусть выполнены:
f(z) ϵ O(G) и g(z) ϵ O(G)
∃ Kε ϵ G, где f(z) ≡ g(z)
Тогда f(z) ≡ g(z) в G
Доказательство:
Обозначим через z0 центр круга Kε. Ясно, что, не ограничивая общности, можно считать, что f(z) и g(z) аналитичны вплоть до границы круга
|z-z0|=ε => (по теореме Тейлора)
(3)
(4)
Но в силу условия (1) f(n)(z0)=g(n)(z0), n=0,1…
=> ряды (3) (4) совпадают и => будучи сходящимися в круге |z-z0|<R=dist (z0 r) дают совпадение f(z) ≡ g(z) в кругу KR(z0).
Покажем теперь, что совпадение f и g есть в любой z ϵ G
Пусть теперь точка z0 – произвольная в области G. Тогда z0 можно соединить гладкой линией Г, целиком находящейся в G. Всякую линию конечной длины можно покрыть ε полоской, образованной движением центра круга Kε(z0) по Г, дойдя до точки z.
При этом важно заметить, что при достаточно малом ε >0 полоска окажется целиком лежащей в области G и отстоящей от границы области на некоторое фиксированное число ε0>0. Тогда при сдвиге круга Кε(я0) на шаг меньший ε0, получим совпадении f(z) ≡ g(z) в объединении Кε(z0) и сдвинутого круга.
ч.т.д.
Замечание: Из доказательства ясно, что теорема единственности справедлива и при гораздо более слабых условиях
f(n)(z0)=g(n)(z0)
Действительно, в доказательстве использовалось только семейство равенств (1). => если f(z) ≡ g(z) на какой-либо дуге, то f(z) ≡ g(z) всюду в G. Т. к. комплексный предел не зависит от пути, то из совпадений вытекает (1).
Наиболее общая формулировка звучит так:
∃ zk a ϵ G (внутренняя точка)
f(zк)=g(zк)
=> f(z) ≡ g(z)
Контрпример:
f(z)=sin z, очевидно, f(zk)=0, где zk=kπ
Однако, sin z ≠0.
Ясно, что предыдущая теорема неприменима к sin z, точка zk не имеет конечной предельной точки.
Замечание (о нулевой функции)
По определению точка z = z0 называется нулем аналитической функции f(z), если f(z0)=0. Если при этом f ‘ (z0) ≠ 0, то z0 – просто точка, иначе, если f(z0)=0, f ‘(z0)=0… f (k+1)(z0)=0, то z0 , по определению, нуль f(z) кратности k.
Утверждение. Всякий нуль аналитической функции f(z) имеет конечный порядок. f(z0) ≠0. Действительно, если предположить, что
f(k)(z0)=0
для любого k=0,1,2,..,
то … f
(z)=
В теории аналитической функции наряду с рядами Тейлора важную роль играют более общие ряды Лорана:
--
ряды
Лорановская Тейлоровская часть
не только по положительным, но и по отрицательным степеням z-a.
Ряды Тейлора появляются в разложении аналитических функций в кольце.
Пусть f(z) аналитична в кольце
Теорема.
Всякая
f(z),
аналитическая в кольце
∀
f(z)ϵО
(
разлагается в ряд
f(z)=
,
где
,
гдев
ϵ
(r,R)
– любое число.
Доказательство:
Пусть
z
ϵ
- произвольная точка.
«Поместим»
ее внутрь кольца
, где г ‘ >r
, а R
’<R
, тогда по формуле Коши
Обработаем каждый из интегралов отдельно, разлагая ядро формулы Коши в геометричсекую прогрессию.
I(контур ГR ’). В этом случае
II (контур Гr ‘ )
обозначим
=>
где
из
(1) => f(z)
=
Заменив k+1 -> -n, т.е. k+1=-n, получаем
f(z)=