Лекция № 9. Следствия из формулы коши.

10. Напоминание.

f(z)O(G)

Тогда для любого z, принадлежащего G, справедлива формула:

f(z)=)

Следствие1. Существует

Следствие 2. (оценки Коши).

Речь идет об оценках производных аналитической функции через ее максимум модуля.

Введем обозначения:

М=

R=dist(z,Г) =

длина Г – длина границы Г

Утверждение: Если f(z)O(G)C(, то |f⁽ⁿ⁾(z)|<=оценка Коши для высших производных аналитической функции.

Доказательство:

Из формулы Коши следует:

F⁽ⁿ⁾(z)=|f⁽ⁿ⁾(z)|<=

S-длина дуги

Ясно, что таких оценок не может быть для вещественных функций.

30. Следствие3 (Теорема Лиувилля)

Прежде всего условимся относительно терминологии: всякая функция аналитическая во всей комплексной плоскости, исключая бесконечно удаленную точку, называется целой функцией:

1/(z-1), 1/cosz - не целые

Теорема: Пусть 1) f(z) – целая

2) f(z) – ограниченная, т.е. существует М>0: для любого z=>f(z)=const

Доказательство:

Покажем,что f’(z)=0

Из оценок Коши (n=1)

|f’(z)|<=

Устремим R->∞, тогда |f’(z)|<=0, т.е. f’(z)=0

Ч.т.д.

4⁰.Следствие 4. (основная теорема алгебры).

Теорема: Пусть P_n(z) – многочлен степени n>=1 => он имеет хотя бы 1 корень, т.е. z₀

Доказательство: Пусть противное: для любого z значение P_n(z)<>0

Рассмотрим f(z)=- целое, кроме того, так какn>=1 => |P_n(z)|->+∞ |z|->∞ =>|f(z)|->0, т.е. f(z) ограничена на С. => (т. Лиувилля) f(z)=const. Но тогда P_n(z)=const противоречит условию n>=1

Ч.т.д.

5⁰. Дополнение (обращение интегральной теоремы Коши)

Вспомним, если f(z) то для любого Г сG

оказывается эта теорема обратима:

Утверждение (теорема Морера)

Пусть f(z) – непрерывная функция в односвязной области G, причем любая ГсG

Тогда f(z) – аналитична в G

Доказательство:

Т. К. не зависит от пути и, значит, является однозначной функцией точкиz

Непрерывность f(ε) приводит к формуле F’(z)=f(z). Это значит, что F(z) аналитична в G

Комплексные ряды.

1⁰.(I теорема Вейштрасса)

Пусть f1(z)….fn(z) … - аналитиеская функция в G.

Рассматривается ряд

Теорема:

1. Пусть ряд (1) сходится равномерно в области G к своей сумме f(z) , т.е. f(z)=

2. f_n(z) – аналитична в области G, n=1,2… Тогда f(z) – аналитична в G.

Доказательство:

Заметим, т.к. аналитичные функции непрерывны, то равномерная сходимость (1) тоже непрерывна в G.

Т.к. равномерно сходящиеся ряды можно интегрировать почленно, то какой бы замкнутое Г ни выбрать,

=> по теореме Морера доказано.

Ч.т.д.

2⁰. II теорема Вейерштрасса:

1) ряд f(z)=

2)

=> для любого к=1… f^(k)(z)

Доказательство:

По условию ряд f(сходится равномерно вG, тогда

также сходится равномерно в G

Интегрируя ряд почленно, получаем:

f^(k)(z)=

Лекция № 10. Степенные ряды. Ряды тейлора.

1. Степенные ряды (общая теория).

1⁰. Определение. Примеры.

По определению.

1. где Сn, n=0,1,….-последовательность комплексных чисел (коэффициенты) и z₀- фиксированная точка (центр ряда)

Z₀=0

(1) (1)

z-z₀->z

Примеры:

e^z= и т.д., для любого z

1)область сходимости (1);

2)свойства суммы s(z)=

2⁰. Теорема Абеля.

Теорема: Если ряд(1) сходится хотя бы неабсолютно в z₀<>0, то он сходится абсолютно в любой z

Доказательство:

Действительно сходимость (1) в z₀,как известно, влечет стремление к нулю C_nz₀ⁿ->0 (n->∞). Тем более последовательность C_nz₀ⁿ ограничена, т.е.|C_nz₀ⁿ|<=M, n=0,1…}

Пусть теперь z – любая точка, но фиксированная, для которой |z|<|z₀|, тогда ясно, что | C_nzⁿ|=

=| C_nz₀ⁿ-|

• Ряд (1) в z мажорируется (оценивается сверху) сходится геометрических погрешностей => (1) сходится абсолютно

Ч.т.д.

3⁰. Следствия и радиус сходимости.

Следствие1. Если в точке z₀<>0 ряд(1) расходится, то для любого z |z|>|z₀| ряд (1) тоже расходится.

Следствие2. Пусть ряд (1) сходится в точке z₀. Тогда в любом круге |z|<=r<|z₀|, ряд (1) сходится равномерно по z.

Из доказательства теоремы Абеля видно, что в любой z

мажорируется сходящимся числовым рядом . По теореме Вейштрасса (1) сходится равномерно в круге |z|<r

Ч.т.д.

Обратимся к радиусу сходимости и рассмотрим произвольный комплексный степенной ряд.

Логически возможны 3 случая:

1)(1) сходится только в z=0 => скажем, что его радиус сходимости R=0

2)(1) сходится в любой z => R=+-∞

3)имеются как точки сходимости ряда(1) z₀<>0, так и точки расходимости:

Из выше сказанного ясно, что в этом 3-м случае существует R>0:

Точно также, как и в вещественном случае устанавливаются следующие формулы:

А) если существует

Б) если существует

В) безусловная формула R=1/

4⁰. Классические комплексные ряды.

2. Ряды Тейлора.

Обозначим через S(z) сумму сходящегося в круге |z|<R степенного ряда(1), т.е.

S(z)=

Для любого К с {z:|z|<R} (1) сходится равномерно

Формально продифееренциируемый ряд на компакте также сходится равномерно.

• Функция S(z) дифференцируема, т.е. аналитична на этом компакте.

Т.к. К – любое, то S(z) – аналитичная функция в круге |z|<R

Возникает вопрос: Верно ли обратное?

Пусть f(z)

Можно ли f(z) представить в виде степенного ряда (1)

2⁰. Теорема Тейлора. (о разложении аналитичной функции в степенной ряд)

Пусть f(z)O(G) (заметим, что в отличие от интегральной теоремы Коши и формулы Коши не требуя непрерывности функции вплоть до границы.)

Пусть z₀G – фиксированная точка, R=dist(z₀,Г)

Теорема

Какова бы ни была аналитичная f(z) в G и какова бы ни была выбрана z₀ имеет место формула:

f(z)=

Т.е. f(z) в окрестности z₀ представляется своим рядом Тейлора

Ряд (1) сходится в круге

К_R={z: |z-z₀|<R}

Доказательство:

Рассмотрим круг K_r={z: |z-z₀|< r} меньшего радиуса r<R

Для любого zK_r f(z)=

Очевидно,

|q|<1 на всем контуре |ε-z₀|=r

на контуре |ε-z₀|=r

Подставим (2)->(1)=> f(z)=

=Формула Коши