Лекция № 14.

Теория вычетов.

Теория вычетов аналитических функций является основой для вычисления как комплексных, так и ряда вещественных интегралов.

Не исключая при этом и несобственные интегралы.

1⁰. Определение. Примеры.

Пусть f(z)- аналитическая функция в некоторой окрестности точки z=a, исключая, быть может, саму точку а.

Иными словами, если z=a не есть точка аналитична, то она – изолированная особая точка f(z)

Ua f(z)

Определение. Вычетом f(z) в точке z=a называется число

Заметим,что даст 1 и то же число, если контур γ- непрерывно-дифф-я вUa\{a}

Поэтому эквивалентно

γ={z:|z-a|=ε}

Пример. F(z)=

Очевидно. Если f(z) аналитична в точке а, то вычет ее = 0.

Покажем, что

Действительно, по определению

Очевидно, на окрестности |z-a|=ε числа z=a+ε

Т.к. периодическая функция с периодом 2π.

Замечание. Таким образом, можно сказать

N=0,+-1….

2⁰. Формулы вычисления вычетов.

В соответствии с классификацией особых точек мы должны рассмотреть случаи:

1. z=a – устранимая

2. z=a – полюс

3. z=a –существенно особая точка

Теорема:

Во всех случаях

С_-1- коэффициент в ряде Лорана при первой отрицательной степени двучлена (z-a), то есть при 1/(z-a)

Доказательство:

По теореме Лорана f(z)=

Интегрируем этот ряд почленно по γ={z,|z-a|=ε}

=>

• то есть

Ч.т.д.

Ясно,что, если z=a – устранимая особоая точка, т о всегда С_-1=0 и вычет то же =0.

В случае полюса необязательно функцию раздагать в ряд Лорана. Этот случай наиболее часто встречается.

3⁰. Случай полюса порядка m>=1.

Теорема:

Если z=a – полюс порядка m>=1, то

Или, что то же,

Доказательство:

Как нам известно, в случае полюса разложение в ряд Лорана имеет вид:

f(z)=

Для определения С_{-1 имеем}

f(z)(z-a)^m=C_-m+C_-m+1(z-a)+…+C_-1(z-a)^m-1+(z-a)^m - ряд Тейлора для f(z)(z-a)^m

(z-a)^m - aналитична

В соответствии с коэффициентами рядов Тейлора

С_-1=

Ч.т.д.

Особо просто в случае простого подлюса

M=1

0!=1

Res_z=af(z)=lim_z->a[f(z)(z-a)]

4⁰. f(z)=

На практике встречаются функции вида f(z)=где

Ψ(а)=0 Ψ’(ф)<>0

Ψ(z) имеет в точке простой нуль. z=a

Утверждение в указанных условиях вычет функции resf(z)=

Доказательство:

Т.к. z=a – полюс первого порядка, то по предыдущей формуле

Res_z=af(z)=lim_z->af(z)(z-a)==lim_z->a

Остается случай

5⁰. Вычисление комплексных интегралов.

Пусть f(z) аналитична внутри замкнутого контура Г, исключая конечное число изолированных особых точек.

Тогда по интегральной теореме Коши для многосвязной области,

-- основная формула вычисления комплексных интегралов.

Поскольку мы имеем способ нахождения вычетов независимо от интегрирования, данная формула содержательна.

Вычисление вещественных интегралов.

1⁰.

z=

cos

sin

z==>dz=i

d

|zj|<1

Лекция № 15.

19.05.10

Вычисление несобственных интегралов. Лемма Жордана.

Ряд несобственных вещественных интегралов, встречающихся в математической физике можно вычислить также методом теории вычета.

где λϵR¹ – параметр

Это есть преобразование Фурье функции f(x) и обозначается

Этот интеграл играет важную роль в математической физике. Сегодняшняя цель – научиться вычислять такой интеграл методом вычетов.

1⁰. Идея «выхода» в комплексных интегралах

Допустим, что функция f(x), xϵ(-∞;+∞) допускает так называемое аналитическое продолжение в полуплоскость 2n z>0.

Также существует f(z), и аналитично всюду, кроме конечного множества изолированных особых точек. При этом приf(z)|_z=1==f(x). Для элементарных функций часто достаточно вместо х подставить z.

Тогда 

Re(z)>0

1. 

ясно, что если в формуле (1) R->+∞, то

Лемма Жордана как раз и посвящена вопросу.

2⁰. Лемма Жордана.

Лемма. Рассматривается интеграл , где функцияf(z) удовлетворяет 2-м условиям:

1. f(z) аналитична в полуплоскости Imz>0, исключая конечное множество изолированных особых точек.

2. f(x)->0 при |z|->+∞ (imz>0). Тогда при

Доказательство: на Г_R={z: z=R}

|e^iλz| = |e^iλ(x+iy)| = |e^iλxe-^λy| = |e^iλx|e^-λy= e^-λy

|e^iλx|=1

Так как на Г_R у=Rsin, то |e^iλz|=(1)

Далее, условие f(z)->0 при |z|->∞ означает, что в этом процессе максимизации модуля

max(f(z)) -> 0 при R->+∞

zϵГ_R

∀ε>0 ∃R₀=R(ε): {|z|>R₀(ε) => ∀zϵГ_R выполняется неравенство |f(z)|<ε}

max|f(z)|<ε

zϵГ_R

Обратимся непосредственно к оценке интеграла:

имеем: <=

ds=Rd – дифференциал дуги на окружности радиуса R

<==8М_RR/

очевидно на

\

M_R==max_zϵГR |f(z)| -> 0 R->∞

/=2RM_R(

ч.т.д.

3⁰. Следствие.

В условиях леммы Жордана

4⁰. Пример.

J=

Замечаем, что J=Re - соответствует лемме Жордана при λ=1 f(z) = .Im z>0

Re e^ix == cosx

при x=1 f(z)=1/(z²+9)

cледовательно, J=2πi

x²+9=0 (x+3i)(x-3i)=0

/=2πi

Замечание

Обратим внимание на тот факт, что для вычисления несобственного интеграла

, что находится в некотором несоответствии с понятием несобственного интеграла.

Таким образом мы с помощью леммы Жордана вычислили главное значение по Коши.

Если интеграл сходится в обычном смысле, то сходится по Коши и соответствующие значения совпадают

Замечание. В ряде случаев (более грубых, чем у Жордана)

P.s.

К таким относятся f(x)=Jm(x)/Rn(x), если n-m>=2

Действительно, в этом случае на Г_R функция f(z)²=o(1/R²),

поэтому |