20. Предел f(z) в точке. Непрерывность.

Определение 2.

По определению окрестность точкиназывается всякий открытый кругс центром в точкерадиуса.

Определение 3.

Определение 4.

Заметим, что ряд теорем вещественного анализа безболезненно переносятся на комплексный случай. Например, функция, имеющая предел в точке z₀, ограничена в некоторой окрестности этой точки; справедлива как первая, так и вторая теоремы Вейерштрасса.

30. Производная f(z). Условия Коши-Римана.

Пусть функция f(z) определена в некоторой окрестности фиксированной точки z.

Определение 5.

Функция называется дифференцируемой в точкеz (по Коши), если существует ­– производная функциив точкеz.

Возникает вопрос:

Как узнать по вещественной и мнимой частям функции будет лидифференцируемой по Коши?

Ответом является теорема:

40. Теорема Коши-Римана.

Теорема 1.

Пусть – дифференцируемые функции в точке, тогда функциядифференцируема в точкеz тогда и только тогда, когда в этой точке справедливы:



Пусть

Воспользуемся тем, что в этом определении любым способом и вычислим его:

1. параллельно вещественной оси

∆f(z) ≡∆U+i∆V=[U(x+∆x,y)-U(x,y)]+i[V(x+∆x,y)-V(x,y)]

=> т. е.

2. параллельно мнимой оси

∆f(z)=∆_yU(x,y)+i∆_yV(x,y) =>

Сравнивая (*) и (**) получаем условие Коши-Римана.

Действительно, имеем ∆f(z)= ∆U(x,y)+i∆V(x,y)=dU(x,y)+ō(|∆z|)+idV(x,y)+ō(|∆z|)≡

=> 

Лекция № 3.

10. Геометрический смысл аргумента и модуля .

Как и в вещественном смысле, аргумент и модуль связан с геометрией отображения

Г-кривая

Г=

Ясно, что Г’ = { ω: ω= ω(t), где ω(t)=f[z(t)]}

ω₀ =ω(z(t₀))

Вычислим аргумент вектора ω’ (t): имеем ω’(t) = (f[z(t)])’= f’ (z(t))z’(t) => t=0 ω’(t₀)= f ’(z₀)z’(t₀) => arg ω’(t₀)=arg f ’(z₀)+ arg z’ (t₀)

Таким образом, отметим, что β- α= arg f ‘(z ₀ ) (*)

(*) означает,что касательный вектор z’(t₀) повернулся против часовой стрелки на угол arg f ‘(z₀). Заметим, что кривая Г может быть любой =>

Вывод. Если f ‘(z₀) ≠ 0, то любая кривая , проходящая через z₀, поворачивается на 1 и тот же угол, равный arg f ‘(z₀)

Остается выяснить геометрический смысл |f ‘(z)|. Утверждаем,что |f ‘ (z)| есть коэффициент линейного растяжения в точке z, при отображении ω=f(z) 

G -> W. Действительно, Коль скоро существует

Но

- коэффициент растяжения длины

В итоге, если f ‘(z₀) ≠0, то бесконечно малая окрестность переходим в (также бесконечно малую) окрестность.

В результате, приходим к определению

Определение. Отображение ω=f(z) называется конфорным в точке z₀, если

1. Любая кривая Г поворачивается на 1 и тот же угол (против часовой стрелки);

2. Коэффициент растяжения жлины при этом 1 и тот же

Теорема. Если f ‘(z₀) ≠0, то в точке z₀ отображение ω=f(z) конформно.

Некоторые конформные отображения.

10. Линейное отображение.

ω=az+b, a и b C; a ≠ 0.

Ясно, что ω’ = a ≠0 – конформно всюду, т. е. в ∀ zC’.

Геометрически:

В общем случае :

ω=az+b=a(z-γ) – композиция сдвига и умножения на фиксированные числа а≠0

γ=-b/a

2⁰. Отображение ω=1/z.

ω’(z)=

Ясно, что ω’(z) ≠ 0 при z ≠ 0

Точка z = 0 -- особая точка этого отображения

Исследуем геометрию этого отображения в окрестности 0.

Плоскость отображается на себя, при этом внешность круга |z|<R

переходим во внутрь круга 1/R, таким образом естественно положить по определению ∞=1/0 и считать окружностями z = ∞, являющиеся внешностями кругов |z|<R.

3⁰.

Вывод