- •8. Почленное дифференцирование функционального ряда
- •17. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье (без док-ва).
- •20. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
- •21. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •22. Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •23.Кривая площади нуль. Примеры (теорема).
- •24. Критерий квадрируемости множества.
- •Св-ва двойного интеграла
- •3 В .3.Криволинейный интеграл 2ого рода и его свойства.
- •37. Поверхностный интеграл 1 рода и его свойства.
- •38. Существование поверхностного интеграла 1 рода и его вычисление.
- •46. Дивергенция. Геометрическое определение дивергенции.
- •47. Поток векторного поля через поверхность. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса.
- •48. Ротор. Циркуляция. Теорема Стокса.
- •49. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Св-ва двойного интеграла
Пусть D – квадрируемое мн-во
1)=S; S – площадь D
Док-во f(x,y)=1 на D. Рассм.разбиениемн-ва D:=Т.к.,=>=S =>Qi=>==>=S
2)Пусть ф-ции f(x,y) и g(x,y) интегр. На мн-ве D. Тогда ф-ция [f(x,y)+g(x,y)] интегр. На мн-ве D и=+
3)Пусть f интегр на мн-ве D. Тогда дляА-const ф-ция {Af(x,y)} интегр. на D и=
4)Пусть f интегр. на D и D=D1D2 D1и D2квадрир. мн-ва, т.ч.Тогда=+
5)Пусть ф-ции f(x,y) и g(x,y) интегр. на D и f(x,y)g(x,y)(x,y)D Тогда
6)Пусть f(x,y) интегр на D, тогда ф-ция |f(x,y)| интегр на D и ||
Док-ва 2)-6) совпадают с док-ми соотв. св-в для определенного интеграла
Билет №26 Теорема о среднем для двойного интеграла
Теорема(о среднем): Пусть D – связный компакт и ф-ция f(x,y) непрерывна на D, тогдаМD, т.ч.=f(M)S, S – площадь D.
Док-во:D – компакт и f непрерывна на D =>М1,М2D: f(М1)=, f(М2)==> f(М1)f(x,y)f(М2)(x,y)D По св-ву 5)(билет 25):
По свойствам 1),3) (билет 25): f(М1)Sf(М2)S=> f(М1)f(М2)
Обознач. => f(М1)f(М1)
Т.к. D – связное мн-во и f непрерывна на D => МD: f(М)==>
f(M)= => f(M)S=, МD
Билет №27.Сведение двойного интеграла к повторному.
Пусть D=
Множество D– криволинейная трапеция относительно множестваOX.
Теорема: Если f(x,y) непрерывна на множествеD, заданном формулой (1).
Тогда – повторный интеграл.
Доказательство: 1) 2)f(x,y) непрерывна наD=>f(x,y) непрерывна на поyна [] для=.
3) Формулу (2) докажем в частном случае, когда D-прямоугольник со сторонами || - осям
координат.
D=[a,b]x[c,d] наnравных частей точками:a=<< … <<=b,c=<< … <<= =d. Обозначим,k=1…n,l=1…n. Тогда τ=– разбиение множества =>Так какповторный интеграл => I== {по свойству аддитивности для определенного интеграла} == {аддитивность} == ={линейность} =.f(x,y) непрерывна наD=>f(x,y) непрерывна поyна[],l=1,n. При=> по теореме о среднем для определенного интеграла:где, =>={так какf(x,y) непрерывна наD=> функцияf(x,на=> по теореме о среднем для определенного интеграла:,} ==,=>=Имеем:С другой стороны==>=>
Рассмотрим множество G=(3), где,- непрерывны на [c,d] =>G– криволинейная трапеция относительноOY:
Теорема: Пусть f(x,y) непрерывна на множествеG, заданном формулой (3), где,- непрерывны на [c,d]. Тогда:.
Билет №28.Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть Пусть пара функций, (), отображаетна плоскости переменныхx,y.
Предположим, что выполнены условия:
1) функции непрерывно-дифференцируемы на.
2) отображение взаимно-однозначное.
3) Определитель 0,()называется якобианом отображенияОтображениевзаимно-однозначные, если:
1)
2)
Если - ограниченное множество с кусочно-гладкой границейи отображениеудовлетворяет условиям 1)-3), тос кусочно-гладкой границейграница
Теорема:
Если функция f(x,y) непрерывна наи выполнены условия 1-3, тогда;
Док-во:
Т.к. f(x,y) непрерывна на=>.
Т.к. f(x,y) непр-на на, ф-иинепр-но дифф-мы на, то функциянепр-на на=>
Формулу (1) докажем для частного случая линейного отображ.:
,a,b,c,d– числа.
Введем на площади прямоугольную cетку с шагомh.
Эта сетка в случ. лин. отобр. переходит в прямоугольную сетку на пл-ти x,y.
Рассм. такие квадраты на пл-ти u,v, которые имеют ненулевое пересечение с. Пересечение этих квадратов собразует разбиениемн-ва.
Обозн. – образпри отображении (*) =>– разбиение мн-ваD.
Т.к. вып. условия 1-3 и все мн-ва - квадрируемые (т.к.ограниченное мн-во с кусочно-гладкой границей), то– тоже квадрируемые мн-ва. Обозн.– площадь,– площадь.
Выбираем точку; обозначим черезобразпри отображении (*)=>.
Составим интегральную сумму: .
Выберем в разбиении tвсе такие мн-ва, которые не пересекаются с Г и.
Пусть .
Ан-но , т.ч.не пересекаются с.
Т.к. граница переходит в границу Г (в силу усл. 1-3), то<=>=>
, где- сумма по;
- сумма по, т.ч..
Рассм. . Если=>- образ целого квадрата.
- квадрат, построенный на векторах (h,0),(0,h).
Вектора (h,0),(0,h) переходят в вектора
– параллелограмм, построенный на векторах.
.
Якобиан отображения:
=>=>
.
Обозн. =>.
Имеем:
. Интегральная сумма дляF, соответствующая разбиению:.
Пусть – параметр разбиенияt,- параметр разбиения.
(т.к.). Т.к.=>
. Т.к.=>.
Докажем что .
f(x,y) непрерывна на,– компакт =>fогран. на.
, т.к. Г – кусочно-гладкая кривая =>S(Г)=0 =>.
Аналогично =>.
.
=>.
Билет №29.Тройной интеграл и его свойства. Сведение тройного интеграла к повторному.
Мн-во в R3, являющееся объединением конечного числа прямоугольных параллелепипедов, ребра которых параллельны осям координат называется элементарным телом.
Поверхность Sназ-ся поверхностью объема (меры) нуль, еслиэлементарное телот.ч..
Например, гладкая поверхность имеет объем нуль, кусочно-гладкая поверхность имеет объем нуль.
Пусть -ограниченное мн-во вR3. Мн-вокубируемо <=> мера его границы равна нулю.
Док-во аналогично док-ву критерия квадрируемости мн-ва.
Пусть–ограниченное мн-во вR3с кусочно-гладкой границей. Разбиваемнаnчастейс помощью кусочно-гладких поверхностей так, чтобы выполнялись св-ва:
1);2) ,ij;
Мн-во t={}, т.ч. выполнены условия 1, 2 называется разбиением.
Обозн. – объем. Обозн. di=diam . Пусть=maxdi– параметр разбиения.
Выбираем точку Qi. Пустьf(x,y,z) опред. на мн-ве.Составим интегральную сумму:
Если lim(), не зависящий от разбиенияtи выбора точекQi, то этот предел называется тройным интегралом от функцииfпо мн-ву. Обознач.
Функция f(x,y,z) наз-ся интегрируемой на, если.
Необходимое условие интегрируемости, достаточное условие интегрируемости, критерий интегрируемости, критерий интегрируемости формулируются и док-ся также как и для двойного и определенного интеграла. Например:
Дост. условие интегрируемости: если fнепрерывна на, тоfинтегрируема на(где- кубируемое мн-во).
Св-ва тройного интеграла:
1), гдеV– объем. Док-во:
Рассм. и выбираем=>=>lim()=V,Vне зависит отtи т.Qi =>
2) Пусть функции f,gинтегрируемы на. Тогда {f+g} интегрируема наи
3) Пусть fинтегрируема на. Тогда дляфункция {Af} интегрируема наи.
4) Пусть fинтегрируема наигде. Тогда.
5) Пусть fиgинтегрируемыиf(x,y,z)≤g(x,y,z). Тогда.
6) Пусть fинтегрируема на, тогда |f|интегрир. наи.
7) Теорема о среднем:
Пусть – связный компакт вR3 и функцияf(x,y,z) непр-на на. Тогда,V– объем
Св-ва 2-6 доказываются как для определенного интеграла; 7 док-ся как для двойного интеграла.
Сведение тройного интеграла к повторному.
Рассм. мн-во G={} (1), где,Dквадрир. мн-во
функциинепрерывны на. Мн-воG, заданное (1) называется цилиндроидом от-ноxy.
Теорема:
Пусть f(x,y,z) непр-на наG, гденепр. на. Тогда(2). Интеграл в правой части (2) наз-ся повторным.
Док-во: в частном случае когда G– параллелепипед с ребрами, ||-ми осям координат, проводится аналогично для соответствующей формулы для двойного интеграла.
Аналогично вводятся цилиндры отн-но плоскостей xzиyzи формулируется теорема о сведении тройного интеграла к соответствующим повторным.
Билет № 30. Замена переменной в тройном интеграле
Пусть - ограниченное мн-во в пространстве переменныхu,v,wс кусочно-гладкой границей.
Пусть система функций: (*)
отображает на мн-вов пространстве переменныхx,y,z. Предполагаем, что выполнены условия:
ф-ии непрерывно дифф-мы на,
отображение (*) – взаимооднозначное ,
определитель I=. Определитель наз-ся якобианом отображения (*)
Если отображение (*) удовлетворяет условиям 1-3, то ограниченное мн-во с кусочно-гладкой границейотображается на ограниченное мн-вос кусочно-гладкой границей, причемотображается на
Теорема: Пусть ф-ия f(x,y,z) непр-на наи выполнены условия 1-3 для отображения (*). Тогда:.
Док-во аналогично.
Сферические координаты
Θ– угол между осьюOZи(Θ– сферический угол).
φ – угол от основания OXдо(φ – полярный угол)
(r,Θ, φ) – сферические координаты.
I= = = r2*sin (Θ)→|I|= r2*sin (Θ)
(т.к. 0≤ Θ≤π→sin(Θ)≥0)
Формула замены переменных в случае сферических координат имеет вид:
Цилиндрические координаты
M’ – прокцияMна плоскостьOxy
(r,φ) – полярные координаты т.M.
=>(r,φ,z) – цилиндрические координаты т.M
I=→r≥0→|I|=r
Формула замены переменной в случае цилиндрических координат имеет вид:
Билет №31(Криволинейный интеграл 1-го рода и его св-ва)
Пусть Г – ограниченная кусочно-гладкая кривая без точек самопересечения.
Разбиваем Г на nчастей точками. Обозначим. Обозначим через- длинна дуги..
Мн-ва точек T=называем разбиением Г,- параметр разбиения Т. Выбираем произвольные точки. Пусть ф-яопределена на Г. Составляем интегральную сумму: .
ОпрЕсли, не зависящий от разбиенияTи выбора точек, то этот предел наз-ся криволи-ым интегралом 1-го рода от ф-цииfпо кривой Г и обозна-ся. Ф-циюfназывают интегрируемой по Г, если.
Св-ва криволинейного интнграла 1-го рода
1) L– длинна кривой Г.
Док-во: рассматриваем разбиениеT=кривой Г и выбираемточкигдена Г
2) Пусть интегрируема по Гдля
3) Пусть ф-ции f(x,y,z) иg(x,y,z) интегрируемы по Г. Тогда(св-во линейности).
4) Пусть f(x,y,z) интегрируема по кривой АВ и точка САВ. Тогда(св-во аддитивности).
5) Пусть интегрируема по кривой Г. Тогда ф-яинтегрируема по Г и.
6) Пусть иинтегрируема по Г ина Г. Тогда. Док-во св-в 2-6 аналогично док-вам св-в для определенного интеграла.
Пусть кривая Г задана параметрически урав-ми
где непрерывно дифференцируемы на. Пусть ф-цияопределена на Г. Говорят, что ф-янепрерывна на Г, еслинепрерывна на.
Теорема (О среднем): пустьнепрерывна на Г. Тогдатакая, что,- длинна Г. Док-во теоремы аналогично дов-ву о среднем для определеного интеграла.
Замечание:криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления обхода (величина) на кривой. Рассмотрим интегральную сумму, т.к ине зависят от направления обхода кривойинтегральная сумма не зависит от направления обхода криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления обхода на Г.
Билет №32. Существование криволинейного интеграла 1 рода и его вычисление.
Пусть кривая Г задана параметрически :
Кривая Г называется гладкой, если функции непрерывно дифференцируемы на [a;b] и
Теорема.
Пусть Г-гладкая кривая заданная уравнениями (1) и непрерывна на Г. Тогда:
Доказательство.
Т.к функция fнепрерывна на Г, функциинепрерывно дифференцируемы на [a;b] то сложная функциянепрерывна на [a;b] =>
Рассмотрим Разбиение кривойT
Пусть- параметр разбиения Т. Выбираемточки
Составляем интегральную сумму:
=
Для точки,) причем;
=> разбиение
Для ,)
Т.к. непрерывно дифференцируемы на=> функциянепрерывна на=> по теореме о среднем для определенного интеграла
Т.к F(t)непрерывна на=>- параметр разбиения
Докажем что ФиксирФункциянепрерывна на=> Она ограничена нат.е.
Т.к. непрерывно дифференцируемы на=>непрерывны на=> для
Т.к можно счиать что
Имеем
Т.к,
И =>
;=>
=если=>=>
=>
Докажем что если
,
Функция непрерывна на=> Эта функция достигаетminназначенияm
Т.к. на=>m>0 =>т.е.
=> =>
Т.о. Т.к.m=>
Т.е.