37. Поверхностный интеграл 1 рода и его свойства.

Пусть гладкая ограниченная поверхность. Разбиваемс помощью кусочно-гладких кривых наnчастейи получаем разбиениеповерхности. Пусть λ – параметр разбиенияТ. Выбираем любые точки , гдеОбозначим через– площадь. Пустьопределена на, составляем интегральную сумму: .

Определение:Еслинезависимо от разбиенияTи выбора точекто этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначатся. Если, то функциюfназывают интегрируемой по поверхности Φ.

Свойства:

1.,S– площадь поверхности Φ

Доказательство: рассмотрим произвольное разбиение Тповерхности Φ и выбираем,. Функция==S=>=S=>.

2.Если функцияинтегрируема по поверхности, то дляфункцияинтегрируема по поверхностии

3.Если функции,интегрируемы по поверхности=> функция

интегрируема по и

4.Если функцияинтегрируема по поверхностииразбивается на две частиис помощью кусочно-гладкой кривой, то

5.Если функции,интегрируемы по поверхностии

=>

6.Если функцияинтегрируема по поверхности=> функцияинтегрируема по поверхностии

Теорема(о среднем):Пустьнепрерывна на гладкой ограниченной поверхности, то

38. Существование поверхностного интеграла 1 рода и его вычисление.

Пусть Φ поверхность, заданная уравнением (4), где-ограниченное множество с кусочно-гладкой границей.

Теорема:Еслинепрерывно-дифф-ма наи функциянепрерывна на поверхности Φ, то

Доказательство:Рассмотримразбиениеповерхности. Пусть– параметр разбиенияТ. Выбираем любые точки , где, составляем интегральную сумму: . Т.к.- гладкая поверхность, задан уравнением (4)(5), где-проекцияна плоскостьxy, т.к. функциянепр-дифф-ма на=>непр на=> у интегралу в (5) применяем теорему о среднем =>:, гдеплощадь. Точкиобозначим=

=

Обозначим , множестворазбиение множестваD=>=.– параметр разбиения .

Т.к. непрерывна на поверхности Φ инепрерывно-дифф-ма на=>непрерывна на=>, докажем, что. Фиксируем. Имеем. Функциянепрерывна на компакте=> ограничена на=> . Функции,непрерывны на компакте=> равномерно непрерывны на компакте=> для,т.к. =>,, ,=>, если=>

Т.к. Если=>, то=чтд.

Билет №39. . Двусторонние поверхности. Примеры.

Пусть Ф – ограниченная гладкая поверхность. Т.к. Ф –гладкая поверхность, то в каждой точке поверхности существует касательная плоскость. Вектором нормали (M) к поверхности Ф в тM. Заметим, что если Ф- гладкая поверхность, то в любой точке поверхности существует вектор нормали. Т.к. Ф- гладкая поверхность, т.е Ф задается непрерывно – дифференцируемым отображением, то вектор – функция(M) непрерывна на поверхности Ф.

Например, если Ф задана параметрическими уравнениями (1)=> гдеN(M) = [], где

=,=, причем вектор - функции,непрерывны наD=> вектор – функция(M) непрерывна на Ф. Фиксируем произвольную точку МФ ( М- внутренняя точка на Ф)

Рассматриваем замкнутый контур ГФ, исходящий из точки М и не пересекающий границу Ф

Выберем вектор нормали к Ф в точке М одного из двух направлений. Если точка, М движется по контуру Г то вектор нормали непрерывно перемещается по кривой Г. После возвращения в точку М возможна одна из 2-х ситуаций:

1. вектор нормали в точке М после обхода по кривой Г совпадает с первоначально выбранным вектором нормали в т. М.

2. вектор нормали в т. М после обхода по Г имеет противоположное первому направление.

Опр. Если дляМФ изамкнутого контура Г, описанного выше, вектор нормали в точке М после обхода по Г возвращается в исходное положение, то Ф называетсядвусторонней поверхностю. В противном случае ( еслиМФ,контур Г описанный выше , т. ч. Вектор нормали в т. М после обхода по Г имеет противоположное первоначальному направление) поверхность Ф называетсяодносторонней.

Примеры: Плоскость, сфера ….-двусторонние поверхности

Лист Мебиуса –односторонняя

Б илет №40.. Поверхностный интеграл 2 рода и его свойства

Пусть Ф - гладкая ограниченная двусторонняя поверхность. Фиксируем какую-либо сторону поверхности. Обозначим через- единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности. Пусть- углы, которые образуют векторс осями координат => ={cos,cos,cos}

Рассмотрим любое разбиение Т={Ф}– площадь Ф

Пусть вектор- функция определена на поверхности Ф.

Векторы нормали в точках Мимеют координаты:

Составим интегр. сумму:

Опр.Еслине зависящий от разбиения Т и выбора точек М,то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от вектор – функцииповерхности Ф и обозначается

Заметим что интегральную сумму можно переписать в виде:

Введем функцию где {cos,cos,cos} - координаты вектора нормали =>

Если Ф–гладкая поверхность и функция непрерывна на Ф,=>

Если непрерывна на Ф и Ф -гладкая поверхность, =>непрерывна на Ф. Следовательно

Таким образом получаем Утв. Если Ф - гладкая двусторонняя поверхность и вектор –функциянепрерывна на Ф, то

Свойстваповерхностного интеграла 2 рода:

1) Поверхностный интеграл второго рода зависит от выбора стороны поверхности, т.е, если Фи Ф- две стороны поверхности Ф, то

Д.Выберем любые разбиенияТ = {Ф}Поверхности Ф и любые точки МФОбозначимn- единичная нормаль к Ф.n- единичная нормаль к Ф.=>(n- единичная нормаль в точке М). ОбозначимIинтегральная сумма Ф,I-для Ф. =>=>=>

2) Если вектор- функция непрерывна на Ф, то дляк=const:

3) Если вектор- функции m=1,2.. непрерывны на Ф, то

4) Если вектор – функция Непрерывна на Ф и поверхность Ф разбита с помощью кусочно–гладкой кривой на Фи Ф=>

Доказательства следуют из формул для вычисления поверхностного интеграла 2 рода и соответсвующих свойств поверхностного интеграла первого рода.

Билет №41. Поверхностный интеграл 2 рода и его вычисление.

Пусть Ф - гладкая ограниченная двусторонняя поверхность. Фиксируем какую-либо сторону поверхности. Обозначим через- единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности. Пусть- углы, которые образуют векторс осями координат => ={cos,cos,cos}

Рассмотрим любое разбиение Т={Ф}– площадь Ф

Пусть вектор- функция определена на поверхности Ф.

Векторы нормали в точках Мимеют координаты:

Составим интегр. сумму:

Опр.Еслине зависящий от разбиения Т и выбора точек М,то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от вектор – функцииповерхности Ф и обозначается

Заметим что интегральную сумму можно переписать в виде:

Введем функцию где {cos,cos,cos} - координаты вектора нормали =>

Если Ф–гладкая поверхность и функция непрерывна на Ф,=>

Если непрерывна на Ф и Ф -гладкая поверхность, =>непрерывна на Ф. Следовательно

Таким образом получаем Утв. Если Ф - гладкая двусторонняя поверхность и вектор –функциянепрерывна на Ф, то

Билет №42.Теорема Остроградского – Гаусса

Пусть через - внешнюю (по отношению к ) сторону поверхности. Пусть вектор – функция = (x,y,z) +(x,y,z)+(x,y,z) определена в .

Теорема: Если функции P,Q,R непрерывны в и частные производные

, , непрерывны в , то

. (2)

Доказательство: Интегралы в правой и в левой части (2) существуют, т.к непрерывны на и поверхность.

Формулу (2) докажем в частном случае, когда –цилиндроид относительно всех координатных плоскостей одновременно. Докажем сначала, что если - цилиндроид относительно плоскости Oxy, то (3).

=.

: z= (x,y) => cos()= - (минус – т.к угол между нормалью и осью Oz - тупой)

Рассмотрим ==

(используем формулу вычисления интеграла 1 рода) : z= (x,y), (x,y) = аналогично:= (знак +, т.к угол между нормалью и осью Oz - положителен)

Рассмотрим Т.к - цилиндроид относительно Oxy, а - боковая поверхность , то линейная образующая параллельна оси z => нормаль к перпендикулярно оси z => cos()=0 =>==0;

______________________________________________________________________________

Рассмотрим

{ }

Таким образом (3)

Аналогично доказываем если (4)

(5)

Таким образом если . Теорема доказана.

Билет №43,44.Скалярное поле.

Пусть - область на плоскости или в пространстве. Везде далее – область – т.е связанное множество.

Говорят, что в области задано скалярное поле u(M), если каждой точки M из облсти ставится в соответствии по некоторому закону число u(M). Т.е задание скалярного поля аналогично заданию скалярной функции u(M) точки M.

(задается функция, привязанная к точке, но не привязанная к системе координат)

Поверхностью уровня(или линией уровня в плоском случае) называют множество точек, в которых функция u(M) принимает постоянное значение u(M)=С, С=const.

Пусть в области задано скалярное поле u(M) и задана декартова система координат.

Градиентом скалярного поля u(M) называется вектор grad u = { , ,}; это определение зависит от системы координат.

Производная скалярного поля по направлению.

Пусть скалярное поле u(M) задано в области . Фиксируем точку М₀ и вектор = , где М . Обозначим длину вектора.

Если , то этот предел называется производной поля по направлению вектора в точке и обозначается .

Теорема. Если u(M) дифференцируема в точке, то справедлива формула:

= – единичный вектор.

Доказательство. – единичный вектор, . Пусть , М=> == {.

u-u={ Так как функция u(M) дифференцируема в точке , то } = +; = += +=+=

= теорема доказана.

Переписав получим другое определеие градиента – вектор, который характеризует скорость возрастания u(M).

Билет №45.Векторное поле. Векторные линии.

Пусть - область на плоскости или в пространстве. Везде далее– область – т.е связанное множество.

Говорят, что в области задановекторное поле(M), если каждой точкиMиз облстиставится в соответствии по некоторому закону вектор(M). Т.е задание скалярного поля аналогично заданию векторной функции(M) точкиM.

Примеры: поле скоростей, поле силы, градиент скалярного поля задает векторное поле.

Векторной линией векторного поля (M) называется кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора(M). Пусть(M) – вектор

(M)=- радиус – вектор, принадлежащий векторной линии. =>вектор={,,} – касательный вектор для векторной линии. Тогда вектор {dx,dy,dz} – также касательный вектор для касательной линии.

Т.к касательный вектор и вектор (в одной и той же точке) параллельны =>(1)- где(M)=

Уравнения (1) – дифференциальные уравнения векторных линий.