46. Дивергенция. Геометрическое определение дивергенции.

Пусть векторное поле (M) =P(M)+Q(M)+R(M)определено в области Ω и дифференцируемо в точке МΩ.

Опр.Дивергенцией векторного поляв точке М называется число:

div=++(где частные производные вычисляются в точке М).

Заметим, что если векторное поле диффиренцируемо в области Ω, тоdivесть скалярное поле, определенное в Ω.

Пусть векторное поле (M) непрерывно-дифференцируемо в области Ω. Фиксируем₀Ω.

Рассматриваем замкнутую поверхностьS, лежащую в Ω, содержащую внутри точку₀ (например, сферу с центром в точке₀). Обозначим черезG– область, ограниченную поверхностьюS.

По теореме Остроградского-Гаусса: dσ=(– единичная внешняя нормаль кS).

Т.к. векторное поле (M) непрерывно дифференцируемо в Ω илежит в Ω, =>divнепрерывна вG, => по теореме о среднем для тройного интеграла::div(М)*V=dσ, гдеV- объем областиG.

div |_M = .

Стягиваем поверхность Sв точку₀. Обозначим черезd(G) – диаметрG.

Т.к. divнепрерывна в, =>divнепрерывна в точке₀, то

_M = div |_Mo , =>

div |_Mo = (*).

Если предел в правой части равенства (*) существует, то этот предел и называется дивергенцией векторного поля в точке₀.

47. Поток векторного поля через поверхность. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса.

Поток векторного поля через поверхность. Пусть Ф – кусочно-гладкая двусторонняя поверхность. Фиксируем определенную сторону поверхности Ф и обозначим через– единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности Ф. Пусть векторное полеопределено на поверхности Ф.

Потоком векторного полячерез поверхность Ф называется величина(2).

Заметим, что если Ф – кусочно-гладкая поверхность и вектор-функция непрерывна на Ф, то интеграл (2) существует.

Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса. Пусть Ω - ограниченная область вс кусочно-гладкой границей Ф. Пусть векторное поленепрерывно в Ω и частные производныенепрерывны в. Тогда, где– единичная нормаль к внешней стороне поверхности Ф.

Другими словами, поток вектора через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции по области, ограниченной данной поверхностью. Пусть векторное поле непрерывно-дифференцируемо в области Ω. Фиксируем. Рассматриваем любую замкнутую поверхность, содержащую внутри точку(например, сферу с центром в точке). Обозначим через G – область, ограниченную поверхностью S. По теореме Остроградского-Гаусса:

(– единичная внешняя нормаль к S). Т.к. векторное поленепрерывно дифференцируемо в Ω ипо теореме о среднем для тройного интеграла:

, где V – объем области G.

Стягиваем поверхность S в точку . Обозначим через d(G) – диаметр G. Т.к.непрерывна в т., то(3)

Если предел в правой части равенства (3) существует, то этот предел и называется дивергенцией векторного поля в точке.

48. Ротор. Циркуляция. Теорема Стокса.

Ротор векторного поля.

Пусть векторное полеопределено в области Ω и дифференцируемо в точке МΩ.

Ротором поляв точке М называется вектор

(все частные производные вычислены в т. М)

Или

Циркуляция векторного поля.

Пусть векторное поле определено в т. М.

Пусть Г – кусочно-гладкий замкнутый ориентированный контур, лежащий в Ω.

Циркуляцией полявдоль контура Г называется величинаи обозначается:

Заметим, что если векторное поле непрерывно в Ω

Теорема Стокса.

Пусть векторное поле определено в области Ω, Г – кусочно-гладкий ориентированный замкнутый контур, лежащий в Ω. Пусть Ф – гладкая двусторонняя поверхность, лежащая в Ω, ограниченная контуром Г. Фиксируем определенную сторону поверхности Ф. Обозначим через– единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности Ф. Ориентацию на Г выбираем так, что если смотреть с конца векторана Г, то обход по Г производится против часовой стрелки.

Если векторное поленепрерывно дифференцируемо в Ω, то

, т.е.

Циркуляция вектора вдоль контура Г равна потоку rotчерез поверхность, ограниченную этим контуром.

►Доказательство проводим в частном случае, когда поверхность Ф однозначно проецируется на все координатные плоскости. Нужно доказать равенство

(1)

Заметим, что интегралы в (1) существуют, т.к. векторное поле

непрерывно дифференцируемо в Ωфункции P, Q, R и их частные производные первого порядка непрерывны в Ω и Г, ФΩ.

-- доказать

Достаточно доказать равенства:

, (2)

, (3)

(4)

Докажем (2). Т.к. Ф однозначно проецируется на плоскость Оху, то Ф можно задать:

, где функция f(x,y) непрерывно дифференцируема на(в силу гладкости). Т.к.ортогонален поверхности,

,

.

Обозначим через L– проекцию P на плоскость ОхуL – граница D, причем L – кусочно-гладкий замкнутый плоский ориентированный контурпо формуле Грина:

Рассмотрим криволинейные интегралы и.

Пусть

Пусть N – проекция точки M на Оху, значение функциив точке М совпадает со значением функциив точкеN.

Если L задать параметрически, то:

L:, то

Г:

в обоих интегралах по Г и поL.

Следовательно, исводятся к одному и тому же определенному интегралу,

Отсюда и из (5) получаем равенство (2). Равенства (3),(4) доказываются аналогично, т.к. поверхность Ф однозначно проецируется на все координатные плоскости. ◄