22. Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.

Теорема.Пустьf(x,y) и непрерывны на [a,+∞)×[c,d]. Пустьсходится на [с,d] исходится равномерно на [c,d]. Тогда функция Φ(y)=непрерывно дифференцируема на [c,d] иΦ'(y)=, y [c,d].

Доказательство.Рассмотрим последовательность {η_n}, такую что η₁=a, η_n≥a,{η_n} +.

Рассмотрим функциональный ряд

Т.к. сходится на [c,d], то => функциональный рядсходится на [c,d] и его сумма равнаΦ(y), =>

Φ(y) =.

Докажем, что функции непрерывно дифференцируемы на [c,d].

=- собственный интеграл, зависящий от параметра.

Т.к. f(x,y) инепрерывны на [a,+∞)×[c,d], тоf(x,y) инепрерывны на[η_n,η_n+1)×[c,d], => по теореме о дифференцировании собственного интеграла по параметру:

на [c,d], причем.

Т.к. непрерывна на[η_n,η_n+1)×[c,d], =>.

Докажем, что сходится равномерно на [c,d].

Т.к. сходится равномерно на [c,d], то рядсходится равномерно кна [c,d] (доказывается так же, как равномерная сходимость функционального ряда в теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра: вместоf=>), т.е. рядсходится равномерно на [c,d].

Тогда по теореме о почленном дифференцировании функционального ряда имеем: Φ'(y) = ==, y [c,d].

Т.к. непрерывна на [a,+∞)×[c,d] исходится равномерно на [c,d], => по теореме о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра, получаем, чтоΦ'(y) непрерывна на [c,d]. (доказано).

Замечание. Φ'(y)= = при условиях теоремы

23.Кривая площади нуль. Примеры (теорема).

Опр:Элементарной фигурой на пл-ти Оху называется множество, которое есть объединение конечного числа прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.

Опр:Пусть Г-кривая на пл-ти Оху. Кривая Г называется кривой площади (меры) нуль, еслиэлементарная фигура, содержащая Г, площадь которой меньше.

Утв:График функции, непрерывной на отрезке, имеет площадь нуль.

Док-во: Г: y=f(x), x[a,b].Фикс.. Т.к. f(x) непрерывна на [a,b]=>она равномерно непрерывна на нем,=> для. Пусть<1. Построим на пл-ти Оху сетку с шагоми. Рассмотрим любой «столбик», содержащий кусок Г, расположенный на одном шаге. Высота столбика, длина =,площадь «столбика». Число «столбиков»площадь элементарной фигуры, содержащей ГГ – кривая площади нуль.

Пусть кривая Г задана параметрически: , t.

Опр:Г называется гладкой кривой, если функциинепрерывно дифференцируемы на отрезке t.

Опр: Непрерывная кривая Г называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на коечное число гладких кусков.

24. Критерий квадрируемости множества.

Утв: Путь D- ограниченное множество на плоскости с границей Г. Множество D квадрируемо мера его границы Г равна нулю.

Док-во: D - квадрируемое множество. Пусть {A} – множество элементарных фигур, таких что AD.=sup S(A), где S(A) – площадь фигуры А. Пусть {B} – множество элементарных фигур, таких что. Обозначим=inf S(B), где S(B) – площадь фигуры В.

Так как D -квадрируемое множество, то ==S – площадь фигуры D. Фиксируем, по опред. sup и inf для, для. Рассмотрим Е=\- элементарная фигура. ЕГ. Т.к.D, то S(\)=S()-S(), следовательно S(E), значит S(Г)=0, т.е. мера равна 0.

S(Г)=0, значитэлементарная фигура ЕГ, S(E).(интуитивно понятно, без док-ва=)). S(E) = S()-S().для данныхи. Следовательно, 0D – квадрируемое множество.

Билет 25 Двойной интеграл и его свойства

Пусть D – квадрируемое мн-во на плоскости, разбиваем мн-во D на n частей D_i так чтобы: 1)2)

Т.к. все частичные мн-ва D_iимеют кусочно-гладкие границы, то все D_i – квадрируемые мн-ва.

Обознач. S_i –площадь D_i ,, Мн-во, т.ч. выполнены св-ва 1)2) называется разбиением мн-ва D.

Обознач. - диаметр D_iПусть;- параметр разб.

Выбираем произвольную точку Q_iD_iПусть f(x,y) опред. На D.

Выражение называется интегральной суммой для функции f, соотв. разбиению.

Опр:Если, независящий от разбиенияи выбора точек Q_i, то этот предел назыв.двойным интегралом ф-ции f на мн-ве D и обозн.

Ф-ция f(x,y) назыв. интегр. На мн-ве D если

Теорема(Необходимое условиее интегрируемости)

Пусть D – квадрируемое мн-во и ф-ция f(x,y) интегр. На мн-ве D тогда f(x,y) ограничена на мн-ве D

Док-во поностью совпадает с док-вом соотв. теоремы для опред. интеграла



Пусть f(x,y) опред. на D(D – квадрируемое мн-во).Пусть- разбиение D Обозн,,,s_,S_-суммы Дарбу

Теорема (Критерий интегрируемости): Пусть f – ограниченная на D. Ф-ция f интегр. На D

Док-во:Анал-но критерию интегр. Для опред. интеграла



Теорема(Достаточное условие интегр-ти): Если f непрер. на, то f интегр на D.

Док-во:соответствует док-ву теоремы для определенного интеграла, основывалось на св-ве равеомерной непрерывности ф-ции на отрезке, т.к.- ограниченное и замкнутое, f – непрерывна на=> f равномерно непр-на на=> док-во повторяет док-во соотв. теоремы для определенного интеграла.

