- •Министерство образования и науки республики казахстан
- •Учебная программа дисциплины – Syllabus
- •Данные о дисциплине:
- •1.5 Описание дисциплины
- •1.6 Контроль и оценка знаний.
- •Оценка знаний студентов
- •Содержание Активного раздаточного материала
- •Тематический план курса
- •2.2. Конспект лекционных занятий
- •Ранг матрицы
- •Определение. Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:
- •Векторы и линейные операции над ними. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение трех векторов.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •1. Дифференцирование сложной функции
- •Асимптоты графика функции
- •1. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •2. Метод подведения под знак дифференциала
- •3. Метод интегрирования по частям
- •4. Интегрирование рациональных функций
- •4.1. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
- •4.2. Интегрирование рациональных функций
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •Определение определенного интеграла
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Задача Коши. Теорема существования и единственности
- •Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от .
- •2.3 Планы практических занятий
- •Практическое занятие № 9. Исследование поведения функций и их графиков. Приложения дифференциального исчисления к геометрии.
- •Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов (срс)
- •2.7. Варианты тестовых заданий для самоконтроля
- •2.9 Экзаменационные вопросы по курсу
Ранг матрицы
Определение. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
Он обозначается символом r(A) или rangA. r (A) – целое неотрицательное число, не превосходящее числа строк и столбцов матрицы A. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.
Элементарными преобразованиями для матрицы A называются следующие её преобразования.
1. Перестановка строк или столбцов местами.
2. Умножение строки или столбца на ненулевой коэффициент.
3. Прибавление к одной строке или столбцу матрицы другой её строки или столбца, умноженной на некоторое число .
4. Зачёркивание нулевой строки или столбца матрицы.
Матрица B, полученная из A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной ей и обозначается в виде A~B.
Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.
Теорема. Ранг треугольной матрицы равен количеству ее ненулевых строк.
Определение. Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:
Здесь переменные x1,x2,...,xn называются неизвестными системы, числа aij, где i=1,2,…,m, j=1,2,…,n называются коэффициентами системы, а числа b1,b2,...,bm – свободными членами.
Числа x1,x2,...,xn, обращающие все уравнения системы в тождества, называются решением системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
В случае, если матрица A квадратная, матричная форма записи позволяет решить систему с использованием обратной матрицы A-1.
Теорема. СЛАУ имеющая квадратную невырожденную матрицу, имеет единственное решение, которое находится по формуле: X=A-1B.
Метод решения СЛАУ с использованием соотношения X=A-1B называется матричным методом решения.
Следствие. Пусть СЛАУ имеет квадратную матрицу A n-го порядка, A=0. Пусть i – определитель матрицы системы, в которой вместо i-го столбца подставлен столбец свободных членов. Тогда эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам , . Эти формулы называются формулами Крамера.
Метод Гаусса для исследования и решения СЛАУ.
Матричный метод и правило Крамера обладают двумя существенными недостатками. Во–первых, они применимы только для систем с невырожденной квадратной матрицей и не работают в случае, когда =0. Во–вторых, с ростом объём вычислений для этих методов слишком быстро возрастает и для n10 они уже практически неприменимы. Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса.
Пример 5. Исследовать и решить систему
Запишем и приведем к верхнетреугольному виду матрицу .
~ ~ ~
~
т.к. r ( )= r (A)=3 система совместна и имеет единственное решение. По последней матрице восстанавливаем систему и решаем её начиная с последнего уравнения.
Теорема Кронекера – Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна только в том случае, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы (r (A)= r ( )). Если r (A) r ( ), то СЛАУ решений не имеет.
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.
Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, т.е. r=n, то система имеет единственное решение.
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
Пусть r<n. r неизвестных называются базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n-r называются свободными неизвестными.
Осн. лит.: 1, [5-33] , 6, [66-83], 19, [72-83, 87-94]
Доп. лит.: 30, [151-168]
Контрольные вопросы
Матричный способ решения систем линейных уравнений. Когда он применяется?
Что называется рангом матрицы? Какой цели служит ранг матрицы?
Какие системы линейных уравнений называются совместными?
Лекция № 3. Векторная алгебра