Дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид уравнения
первого порядка следующий:
Если уравнение
удается разрешить относительно
,
то получим
Это уравнение называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Задача Коши. Теорема существования и единственности
Для уравнения 1- го порядка справедлива следующая теорема:
Теорема (о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка).
Если в уравнении
функция
и ее частная производная
непрерывны в некоторой области
на плоскости
,
содержащей точку
,
то в некоторой окрестности точки
существует единственное решение этого
уравнения
,
удовлетворяющее условию: при
,
.
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция , график которой проходит через точку .
Условие, что при
функция
должна равняться заданному числу
,
называется начальным условием.
Оно записывается в виде
.
Задача отыскания решений уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, носит название задачи Коши.
Уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от .
Предполагая, что
,
преобразуем его следующим образом:
.
Считая
известной функцией от
,
равенство можно рассматривать как
равенство двух дифференциалов, а
неопределенные интегралы от них будут
отличаться постоянным слагаемым.
Интегрируя левую часть по
,
а правую по
,
получим
.
Мы получили
соотношение, связывающее решение
,
независимое переменное
и произвольную постоянную
,
т.е. получили общий интеграл уравнения.
Дифференциальное уравнение вида
называют уравнением с разделенными
переменными. Общий интеграл его есть
.
Осн. лит.: 1, [5-33] , 6, [12-42], 19, [52-58]
Доп. лит.: 30, § 2.4.4, [151-168].
Контрольные вопросы:
1. Определение обыкновенных дифференциальных уравнений
2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
3. Общее решение дифференциального уравнения.
4. Задачи Коши. Частное решение.
Лекция 15. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
I. Рассмотрим некоторые типы уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.
Общее решение уравнения вида
(1)
находим методом n-кратного интегрирования. Умножая обе его части на dx и интегрируя, получаем уравнение (n-1)-го порядка:
(2)
После n-кратного интегрирования получаем общее решение уравнения.
Повторяя эту операцию, приходим к уравнению (n-2)-го порядка:
(3)
После n-кратного интегрирования получаем общее решение уравнения (1):
(4)
где Сi
(i=1,n)
– произвольные постоянные, связанные
определенным образом с произвольными
постоянными
.
II. Пусть дифференциальное уравнение n-го порядка не содержит искомой функции и ее производных до (к-1) –го порядка включительно (1≤k≤n):
(5)
Вводя новую
неизвестную функцию z(x)
по формуле z=y(k)
и учитывая, что
,
приходим к уравнению (n-k)
– го порядка относительно функции
z(x):
(6)
т.е.
понижаем порядок уравнения (5) на k.
Если удастся отыскать общее решение
уравнения (6) в виде
получим дифференциальное уравнение
вида (1), решение которого находят k- кратным интегрированием. В частности, если n=2, k=1, то уравнение (6) – первого порядка.
III. Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка, не содержащее явно аргумент x:
(7)
В этом случае
порядок уравнения всегда можно понизить
на единицу, введя новую функцию p(y)=y\
, где у рассматривается как ее
аргумент. Для этого
нужно выразить через производные новой
функции по аргументу у. Использовав
правило дифференцирования сложной
функции, получим:
(8)
и т.д. Из проведенных вычислений ясно,
что y(k)
выражается через производные функции
p и y,
порядок которых не превышает (к-1).
В итоге вместо уравнения (7) получаем
уравнение вида
(9)
Если уравнение (9) имеет общее решение
,
где
,
то для нахождения общего интеграла
уравнения (7) остается разделить переменные
в последнем уравнении и решить его:
Если в уравнении (7) n=2, то уравнение (9) - первого порядка.
Осн. лит.: 14, [259-264].
Доп. лит.: 29, [330-342], [344-350].
Контрольные вопросы:
1. Типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.
2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка