- •Министерство образования и науки республики казахстан
- •Учебная программа дисциплины – Syllabus
- •Данные о дисциплине:
- •1.5 Описание дисциплины
- •1.6 Контроль и оценка знаний.
- •Оценка знаний студентов
- •Содержание Активного раздаточного материала
- •Тематический план курса
- •2.2. Конспект лекционных занятий
- •Ранг матрицы
- •Определение. Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:
- •Векторы и линейные операции над ними. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение трех векторов.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •1. Дифференцирование сложной функции
- •Асимптоты графика функции
- •1. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •2. Метод подведения под знак дифференциала
- •3. Метод интегрирования по частям
- •4. Интегрирование рациональных функций
- •4.1. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
- •4.2. Интегрирование рациональных функций
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •Определение определенного интеграла
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Задача Коши. Теорема существования и единственности
- •Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от .
- •2.3 Планы практических занятий
- •Практическое занятие № 9. Исследование поведения функций и их графиков. Приложения дифференциального исчисления к геометрии.
- •Планы занятий в рамках самостоятельной работы студентов (срс)
- •2.7. Варианты тестовых заданий для самоконтроля
- •2.9 Экзаменационные вопросы по курсу
2.9 Экзаменационные вопросы по курсу
1. В чем отличие матрицы от определителя? Укажите действия над матрицами.
2. В каком случае возможно умножение двух матриц?
3. Что такое вектор? Дайте определение модуля вектора.
4. В чем отличие скалярного произведения от векторного произведения векторов? Перечислите основные свойства скалярного и векторного произведений.
В чем заключается механический смысл скалярного произведения?
Что называется смешанным произведением?
В чем заключается геометрический смысл смешанного произведения?
Укажите условие коллинеарности двух векторов.
В чем заключается метод Гаусса решения систем линейных уравнений?
Матричный способ решения систем линейных уравнений. Когда он применяется?
Что называется рангом матрицы? Какой цели служит ранг матрицы?
Какие системы линейных уравнений называются совместными?
14. Геометрический смысл углового коэффициента в уравнении прямой
на плоскости.
15. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Условие
перпендикулярности прямых на плоскости.
16. Угол между плоскостью и прямой.
17. Каноническое уравнение параболы. Что такое директриса?
18. Определение эллипса как геометрического места точек.
19 В чем заключается метод сечений?
20. Какая поверхность называется цилиндрической?
21. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?
22. Какая функция называется элементарной, сложной? Приведите примеры.
23. Сформулируйте определения предела последовательности, предела функции при стремлении аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
24. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?
25. Основные теоремы о пределах функций.
26. Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный предел).
27. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называются точками разрыва функции.
28. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.
29. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?
30. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. Приведите пример.
31.Теорема о производной обратной функции. Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.
32.Сформулируйте определение дифференциала функции. В чем заключается свойство инвариантности формы дифференциала функции? На чем основано применение дифференциала в приближенных вычислениях?
33.Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.
34.Сформулируйте теорему Ролля, теорему Лагранжа. Геометрический смысл.
35.Сформулируйте определение точки экстремума функции. Два правила для отыскания экстремумов функции.
36.Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.
37. Что называется кругом и центром кривизны, эволютой и эвольвентой плоской линии? Приведите пример.
38.Что такое первообразная?
39.Дайте определение неопределенного интеграла.
40.Формула интегрирования по частям.
41.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
42.Интегрирование рациональных функций.
43.Интегрирование иррациональных функций.
44.Какая подстановка называется универсальной тригонометрической?
45.Дайте определение определенного интеграла.
46.Формула Ньютона-Лейбница.
47.Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.
48.Длина дуги кривой.
49.Вычисление объема тела вращения.
50.Вычисление площади поверхности вращения.
51. Из каких условий можно получить формулы для определения коэффициента линейной зависимости?
52. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, записанной через дифференциалы.
53. Как запишется дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными?
54. Дайте определение однородной функции степени .
55. Каким способом можно решить линейное дифференциальное уравнение 1- порядка?
56. Напишите общий вид линейного однородного уравнения второго порядка.
ГЛОССАРИЙ
|
№ п/п |
Новые понятия |
Содержание |
|||
---|---|---|---|---|---|---|
|
1 |
2 |
3 |
|||
|
1. |
Матрица размера m n.
|
называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. |
|||
|
2 |
Определитель матрицы |
-это число, которое по определённому правилу сопоставляется каждой квадратной матрице. Определитель обозначается вертикальными линиями:
|
|||
|
3 |
Вычисление определителя 2-го порядка |
|
|||
|
4 |
Вычисление определителя 3-го порядка |
|
|||
|
5 |
Транспонированная матрица |
для матрицы A называется матрица AT, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы A. |
|||
|
6 |
Минор элемента |
называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i-ой стоки и j-го столбца, на пересечении которых находится этот элемент и обозначается |
|||
|
8
|
Алгебраическое дополнение элемента |
называется соответствующий минор, умноженный на т.е Aij=(–1)i+j Mij, где i -номер cтроки и j –номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент. |
|||
|
9
|
Диагональная матрица |
квадратная матрица, у которой вне главной диагонали стоят нулевые элементы. |
|||
|
10 |
Единичная матрица |
это диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единичные элементы
|
|||
|
11 |
Произведение матрицы A размера mn на матрицу B размера nk |
называется матрица C размера mk, каждый элемент cij которой равен произведению i –ой строки матрицы A на i–ый столбец матрицы B, т.е.
|
|||
|
12 |
Обратная матрица |
для квадратной матрицы A называется такая матрица A-1, что выполняется равенство AA-1=A-1A=E. |
|||
|
13 |
Вырожденная и невырожденная матрицы |
квадратная матрица A, определитель которой равен нулю, называется вырожденной, матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. |
|||
|
14 |
Присоединённая матрица |
для квадратной матрицы A называется матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A, т.е.
|
|||
|
15 |
Ранг матрицы A |
называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю..Он обозначается символом r(A) или rangA. |
|||
|
16 |
Базисный минор |
называется любой из отличных от нуля миноров матрицы А, порядок которого равен r (A). |
|||
|
17 |
Линейная зависимость строк |
строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: , где 0=(0 0 …0). |
|||
|
18 |
Линейная независимость строк |
если линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. , то строки называются линейно независимыми. |
|||
|
19 |
Матричная форма записи системы.
|
|
|||
|
20 |
Формулы Крамера. |
, . A=0 и i – определитель матрицы системы, в которой вместо i-го столбца подставлен столбец свободных членов. |
|||
|
21 |
Расширенная матрица |
называется матрица, полученная из матрицы системы приписыванием справа столбца свободных членов системы. |
|||
|
22 |
Однородная система линейных алгебраических уравнений |
cистема, в которой все свободные члены нулевые.
|
|||
|
23
|
Декартовая системой координат (Д.С.К.) на плоскости |
пара взаимно перпендикулярных координатных осей на этой плоскости, пересекающиеся и общем начале координат точке O и имеющие равные масштабные отрезки. Первая из этих осей называется осью абсцисс (Ox) а вторая – осью ординат (Oy). |
|||
|
24 |
Д.С.К. в пространстве Oxyz |
тройка взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в общем начале координат точке O и имеющих равные масштабные отрезки. Третья ось при этом называется осью аппликат (Oz). |
|||
|
25 |
Расстояние между точками A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB) в пространстве |
|
|||
|
26 |
Вектор |
отрезок с выбранным направлением, или направленный отрезок. |
|||
|
27
|
Коллинеарные вектора |
вектора, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой) |
|||
|
28 |
Компланарные вектора |
Вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. |
|||
|
29 |
Линейные операции над векторами |
это умножение вектора на число и сложение векторов
|
|||
|
30 |
Линейная комбинация векторов |
вектор C1 +C2 +...+Cn .
|
|||
|
31 |
Линейно зависимые векторы , ,..., |
если существуют такие числа C1,C2,...,Cn , не равные одновременно нулю, что C1 +C2 +...+Cn =0 |
|||
|
32 |
Линейно независимыми векторы , ,..., |
если существуют такие числа C1,C2,...,Cn , равные одновременно нулю, что C1 +C2 +...+Cn =0 |
|||
|
33 |
Базисные вектора |
совокупность n линейно независимых векторов |
|||
|
34 |
Скалярное произведение векторов и |
число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т. е. . |
|||
|
35 |
Формула вычисления скаляр-ного произведения векторов = и = |
.
|
|||
|
36 |
Формула вычисления угла между векторами и |
|
|||
|
37 |
Условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов. |
.
|
|||
|
38 |
Направляющие косинусы вектора
|
; ; . |
|||
|
39 |
Орт вектора .
|
вектор координаты которого совпадают с направляющими косинусами вектора т.е. =( ). |
|||
|
40 |
Векторное произведение векторов и |
вектор , удовлетворяющий трём условиям: а) Модуль вектора равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними: sin в) перпендикулярен векторам и т.е. он перпендикулярен плоскости, проходящей через вектора и . с) Тройка векторов правая |
|||
|
41 |
Формула вычисления вектор-ного произведения векторов и . |
|
|||
|
42 |
Площадь параллелограмма построенного на векторах и , |
|
|||
|
43 |
Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна: |
. |
|||
|
44 |
Смешанное произведение трех векторов |
число, равное скалярному произведению векторного произведения векторов с вектором . . |
|||
|
45 |
Формула вычисления век-торного произведения век-торов и , |
. |
|||
|
46 |
Объем параллелепипеда построенного на векторах |
.
|
|||
|
47 |
Объем тетраэдра (треугольной пирамиды)
|
. |
|||
|
48 |
Условие компланарности трех векторов. |
|
|||
|
49 |
Уравнение прямой с угловым коэффициентом к |
|
|||
|
50 |
Уравнение прямой, проходя-щей через данную точку с угловым коэффициентом к |
|
|||
|
51 |
Тангенс угла между прямыми и |
|
|||
|
52 |
Условие параллельности двух прямых |
|
|||
|
53 |
Условие перпендикулярности двух прямых |
|
|||
|
54 |
Направляющий вектор |
любой ненулевой вектор на прямой |
|||
|
55 |
Параметрическое уравнениями прямой |
|
|||
|
56 |
Уравнение прямой с направляющим вектором. |
|
|||
|
57 |
Уравнение прямой, проходя-щей через две заданные точки |
|
|||
|
58 |
Общее уравнение прямой |
|
|||
|
59 |
Нормальный вектор прямой L |
Вектор перпендикулярный прямой
|
|||
|
60
|
Формула вычисления угла между прямыми
|
. |
|||
|
61 |
Условие перпендикулярности прямых
|
|
|||
|
62 |
Условие параллельности прямых
|
.
|
|||
|
63 |
Уравнение прямой с нормальным вектором. |
. |
|||
|
64 |
Уравнением прямой в отрезках |
|
|||
|
65 |
Нормальное уравнение прямой |
|
|||
|
66 |
Расстояние от точки до прямой |
. |
|||
|
67 |
Уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. |
. |
|||
|
68 |
Общее уравнение плоскости
|
. |
|||
|
69 |
Уравнение плоскости с нормальным вектором. |
.
|
|||
|
70 |
Формула косинус угла между плоскостями и
с нормальными векторами и |
|
|||
|
71 |
Условие перпендикулярности плоскостей |
.
|
|||
|
72 |
Условие параллельности плоскостей |
. |
|||
|
73 |
Уравнение плоскости в отрезках |
. |
|||
|
74 |
Нормальное уравнение плоскости. |
.
|
|||
|
75 |
Формула расстояния от точки до плоскости |
. |
|||
|
76 |
Параметрическими уравнениями прямой в пространстве. |
|
|||
|
77 |
Канонические уравнения прямой в пространстве. |
. |
|||
|
78 |
Формула косинус угла между прямыми и |
.
|
|||
|
79 |
Условие перпендикулярности прямых |
. |
|||
|
80 |
Условие параллельности |
. |
|||
|
81 |
Формула синус угла между плоскостью и прямой
|
|
|||
|
82 |
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
|
. |
|||
|
83
|
Условие параллельности прямой и плоскости |
.
|
|||
|
84
|
Общее уравнение прямой
|
. |
|||
|
85 |
Эллипс |
это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний, от которых до двух выбранных фокусов, постоянна и равна |
|||
|
86 |
Каноническое уравнение эллипса |
, . |
|||
|
87 |
Эксцентриситетом |
число равное , |
|||
|
88 |
Фокальная ось |
ось, проходящая через фокусы эллипса |
|||
|
89 |
Директрисы эллипса |
прямые, проходящие перпендикулярно фокальной оси на расстоянии от центра эллипса |
|||
|
90 |
Уравнение окружности радиуса а с центром в точке |
: . |
|||
|
91 |
Гипербола |
Это геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух выбранных фокусов постоянна |
|||
|
92 |
Каноническое уравнение гиперболы
|
, . |
|||
|
93 |
Асимптота кривой |
прямая, у которой расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль кривой в бесконечность. |
|||
|
94 |
Парабола |
это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фокуса совпадает с расстоянием до директрисы |
|||
|
95 |
Каноническое уравнение параболы |
. параметр параболы.. |
|||
|
96 |
Общее уравнение кривой второго порядка |
. |
|||
|
97 |
Эллиптический цилиндр |
|
|||
|
98 |
Гиперболический цилиндр |
|
|||
|
99 |
Параболический цилиндр |
|
|||
|
100 |
Каноническое уравнение конуса второго порядка. |
|
|||
|
101 |
Эллипсоид |
, числа –полуоси |
|||
|
102 |
Уравнение сферы |
. |
|||
|
103 |
Двуполостный гиперболоид |
|
|||
|
104 |
Однополостный гиперболоид. |
|
|||
|
105 |
Эллиптический параболоид |
|
|||
|
106 |
Гиперболический параболоид |
|
|||
|
107 |
Седловая поверхность |
|
|||
|
108 |
Уравнение поверхности второго порядка |
|
|||
|
109 |
Последовательность |
переменная величина, значения которой можно перенумеровать: |
|||
|
110 |
Функция |
Переменная величина у есть функция переменной величины если каждому значению по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение у; запись |
|||
|
111 |
Область определения функции |
множество (область) значений аргумента |
|||
|
112 |
Область значений функции |
Множество значений, принимаемых функцией |
|||
|
113 |
График функции |
Множества точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек |
|||
|
114 |
Предел переменной величины |
Число есть предел переменной величины ,если для любого , начиная с некоторого момента в изменении , выполняется неравенство ; запись |
|||
|
115 |
Предел последовательности |
если для найдется такой номер , что при будет |
|||
|
116 |
Предел функции на бесконечности |
, если для найдется такое ,что при |
|||
|
117 |
Предел функции в точке |
, если для найдется такое , что для , лежащего в окрестности и , выполняется неравенство |
|||
|
118 |
Два замечательных предела |
(первый замечательный предел) (второй замечательный предел) |
|||
|
119 |
Непрерывность функции в точке |
Функция непрерывна в точке , если ; Другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции). Функция непрерывна в точке , если б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращение функции |
|||
|
120 |
Производная функции в точке |
предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращения аргумента стремится к нулю |
|||
|
121 |
Геометрический смысл производной |
-тангенс угла наклона касательной к графику функции , проведенной в точке |
|||
|
122 |
Механическая интерпретация производной |
скорость изменение функции в точке (относительно изменения аргумента ); если зависимость пути от времени, то (производная пути по времени)-скорость движения в момент t |
|||
|
123 |
Дифференциал функции |
Дифференциал есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б.м. высшего порядка относительно |
|||
|
124 |
Дифференциал независимой переменной |
То же, что произвольное приращение независимой переменной |
|||
|
125 |
Геометрический смысл дифференциала функции |
Дифференциал -приращение ординаты касательной прямой, проведенной к графику функции в точке |
|||
|
126 |
Дифференцируемая функция |
Функция дифференцируема в точке , если существует конечная производная существует дифференциал ; Дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное неверно |
|||
|
127 |
Сложная функция (функция от функции) и ее производная |
, где , т.е. сложная функция, |
|||
|
128 |
Инвариантность формы дифференциала |
Для дифференциала форма записи дифференциала функции не зависит от того, будет ли независимым переменным или промежуточным аргументом |
|||
|
129 |
Обратная функция и ее дифференцирование |
если разрешить относительно , то обратная функция к . Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами: |
|||
|
130 |
Параметрическое задание функции. Дифференцирование параметрически заданных уравнений |
Связь между аргументом и функцией выражена через посредство третьей переменной -параметра: и заданы как функции параметра: ; производная: , если |
|||
|
131 |
Монотонные функции |
Функции возрастающие или убывающие. Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции |
|||
|
132 |
Признак возрастания или убывания |
-функция возрастает, убывает |
|||
|
133 |
Точки максимума, минимума, экстремума |
Точка - точка максимума (минимума) функции , если значение больше (меньше) всех значений , принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятие; точка экстремума - общее название точек максимума и минимума |
|||
|
134 |
Необходимый признак экстремума (признак Ферма) |
Если в точке экстремума производная существует, то она равна нулю |
|||
|
135 |
Достаточный признак экстремума |
Если производная при переходе через меняет знак на - , то - точка максимума, если с - на , то - точка минимума |
|||
|
136 |
Асимптоты и их отыскание |
прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до L стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат; если , то прямая - вертикальная асимптота графика ; прямая - наклонная асимптота (в частности, при - горизонтальная) , , |
|||
|
137 |
Выпуклость (вогнутость) кривой |
Кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой своей касательной |
|||
|
138 |
Признак выпуклости (вогнутости) |
выпукла, -вогнута |
|||
|
139 |
Точка перегиба |
Точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости |
|||
|
140 |
Признаки точки перегиба |
или «не существует» - необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в т. перегиб - достаточный признак |
|||
|
141 |
Теорема о хорде и касательной |
Если у кривой линии в каждой ее точке существует касательная, то найдется точка, в которой касательная параллельна хорде |
|||
|
142 |
Теорема (формула) Лагранжа |
Специальный случай теоремы о хорде и касательной для графика функции на и существует то найдется точка , такая, что |
|||
|
143 |
Теорема Ролля |
Специальный случай теоремы Лагранжа: если и существует то Теоремы Лагранжа и Ролля верны для функции , непрерывной на и дифференцируемой по крайней мере на |
|||
|
144 |
Теорема Коши |
Если и непрерывны на и дифференцируемы на , причем , то |
|||
|
145 |
Формула Тейлора |
Представление функции, имеющей в окрестности производные до порядка в виде суммы многочлена степени расположенного по степеням и некоторого остаточного члена, содержащего в степени |
|||
146
|
Первообразная функции |
Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех значений из этого промежутка выполняется равенство |
||||
147
|
Неопределенный интеграл |
Если -первообразная функции для , то выражение , где -произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , т.е |
||||
148 |
Формула замены переменной в неопределенном интеграле. |
Пусть где монотонна и дифференцируема . Тогда |
||||
149
|
Формула интегрирования по частям |
|
||||
150 |
Рекуррентная формула для интеграла
|
|
||||
151 |
Вычисление интегралов вида
|
Выделить полный квадрат из трехчлена Применить подстановку |
||||
152 |
Интегрирование рациональных функции где многочлены |
1) если дробь неправильная, то выделить целую часть; 2) разложить многочлен на множители; 3) правильную дробь представить в виде суммы простых дробей; 4) найти неизвестные коэффициенты методом частных значений и методом неопределенных коэффициентов; 5) вычислить интегралы от простых дробей. |
||||
152 |
Интегралы вида где -рациональная функция; целые положительные числа |
Замена , где -общий знаменатель дробей |
||||
153 |
Интегралы вида 1) 2) 3) |
Осуществляется замена: 1) 2) 3) |
||||
154 |
Интегралы вида где m,n-целые числа. |
1)Пусть хотя бы один из показателей m или nбудут нечетным, целым, положительным. Тогда полагаем если m-нечетное число; , если n-нечетное число. 2) Пусть оба показателя четные, положительные числа. Тогда применяются формулы
3) Пусть четное отрицательное целое число. Тогда полагаем |
||||
155 |
Интегралы вида где -рациональная функция относительно . |
Полагаем (универсальная подстановка). Тогда . Частные подстановки: 1) пусть тогда полагаем 2) пусть тогда полагаем ; 3) пусть тогда полагаем |
||||
156 |
Определение определенного интеграла |
Если существует конечный предел интегральной суммы при не зависящий ни от способа дробления промежутка на части, ни от выбора точек то тот предел называют определенным интегралом функций по промежутку , |
||||
157 |
Формула Ньютона-Лейбница |
где -первообразная функций |
||||
158 |
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла |
Пусть производные непрерывна на отрезке , тогда |
||||
159 |
Замена переменной в определенном интеграле |
Если функция непрерывна на отрезке и функция непрерывна дифференцируема на отрезке причем то
|
||||
160 |
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми |
|
||||
161 |
Площадь фигуры, ограниченной кривыми
|
|
||||
162 |
Площадь фигуры, ограниченной кривой, имеющей параметрическое уравнение |
|
||||
163 |
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и двумя лучами |
|
||||
164 |
Длина дуги кривой, заданной уравнением |
|
||||
165 |
Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями |
|
||||
166 |
Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями
|
|
||||
167 |
Длина дуги кривой, заданной полярными уравнением |
|
||||
168 |
Площадь поверхности, образо-ванной вращением вокруг оси , дуги кривой, заданной функцией |
|
||||
169 |
Площадь поверхности, образо-ванной вращением вокруг оси дуги, заданной параметрами уравнениями |
|
||||
170 |
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги, заданной в полярных координатах |
|