Глава 4
Задачи для повторения
163
которых SA0B = Su SB0C = S2, SC0D = S3, SA0D = S4. Докажите, что верно
равенство Sl ■ S3 = S2- S4 (рис. 121, а).
Дано: ABCD — четырехугольник, AC П BD = O, S^jb = Si,SB0C = S2, Scod = S3, SA0D = S4. Доказать: Si ■ S3 = S2- S4.
а) б)
Рис. 121
Решение.
Пусть ВК-L АС, КЄ АС и DF _l_ AC, F Є AC (рис. 121, б).
Треугольники АОВ и ВОС имеют общую высоту ВК, следова-
тельно,
АО
5,
51 = AO (1).
52 OC 3) Треугольники COD и AO D имеют общую высоту DF, значит,
S4 AO
S
— (2). ОС
5,
5,
или S1 ⋅ S3 = S2 ⋅ S4.
S
S
з
L
4) Из равенств (1) и (2) следует, что Что и требовалось доказать.
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если SBOC = S1, SAO D = S2 и OD = 4OB.
В выпуклом четырехугольнике ABCD площади треугольников ABD и AC D равны. Докажите, что в этом случае прямые BC и AD параллельны.
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, а площади треугольников AO B и COD равны. Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
В треугольнике ABC через середину стороны AC проходит прямая, которая пересекает сторону BC в точке O, а продолжение стороны AB в точке F, площади треугольников BFO и DOC равны. Докажите, что отрезок BD является средней линией треугольника AFC.
Скачено с Образовательного
Диагонали четырехугольника, в который вписана окружность, пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство Ri + R3 = R2 + R4, где Ri, R2, R3, R4 — радиусы окружностей, описанных около треугольников ABO, ВОС, COD и AOD соответственно.
Диагонали АС и BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке О. Окружность, описанная около треугольника АОВ, пересекает стороны ВС и AD в точках Т7 и Т соответственно. Верно ли, что OF = а, если ОТ= а?
Докажите, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырехугольника.
2. Трапеция и окружность
Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны. Вычислите площадь трапеции, если длина диагонали АС равна 12 см, а длина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, равна 9 см.
Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Чему равно отношение площадей треугольников АОВ и ВОС, если ВС : AD = пг : л?
Диагональ BD трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне АВ. Вычислите длину основания AD, если Z ADB = Z BDC = 30° и периметр трапеции равен 30 см.
Длины оснований AD и ВС трапеции ABCD равны соответственно тип. Найдите длину диагонали BD, если известно, что окружность, описанная около треугольника BCD, касается стороны АВ трапеции в точке В.
Радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, равен R, а ее диагонали АС и BD делятся точкой их пересечения О в отношении 1 : 3, считая от меньшего основания ВС. Найдите площадь трапеции, если боковая сторона АВ видна из точки О под углом 60°.
В равнобедренную трапецию вписана окружность. Длина большего основания трапеции равна а, а длина боковой стороны равна т. Найдите площадь трапеции.
портала www.adu.by
164