Задачи к § 3

1. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АВ проведена биссектриса BF. Длина перпендикуляра FD, проведенного к прямой АВ из точки F, равна 4 см (рис. 40, а). Вычислите длину отрезка FC.

ЇЇА'ХУ:
■.'.;■-' - ".-	\; ■ i': ■■■".'."' ■-'" *'-r !■■'■'■"'
■;йїй	\y£ \'\: '.v:-:':\-'.';'-
	V ■'■■ '-'.v..■.■■-,.,-,i.:--.:
■:■■.■ ;	Ж'<
	jr V?. \y* -■: ■:■.*■/.'
іЧ F.	*C v1^"1"-''"'
	^"■"ч^ >^' j. '-!■.',- ;;■
•'/'.'■'■■•-':	^4^/^;:-?!',
I:tfp1 ""Wfcr"
Ш&£	%:*.^ym+ Ж:

а)

в)

б) Рис. 40

2. ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вер­шине C, отрезок AT — биссектриса этого треугольника, TK — пер­пендикуляр, проведенный из точки T к его гипотенузе. Вычислите длину отрезка BK, если AC = 7 см и AB = 10 см.

портала www.adu.by

44

Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

45

3. Отрезок AF — биссектриса треугольника ABC. Высота FO треугольника ABF равна 2 см (рис. 40, б). Может ли высота FT тре­угольника AFC быть равной 2,5 см?

4. ABCD — прямоугольная трапеция, AF — биссектриса угла BAD, FO — перпендикуляр, проведенный из точки F к прямой АВ (рис. 40, в). Докажите, что отрезок OF равен высоте трапеции.

5. В треугольнике ABC с прямым углом при вершине С проведена биссектриса CF. Вычислите расстояния от точки F до прямых АС и ВС, если CF = 4V2 см.

6. Отрезок АО — биссектриса прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине С. Вычислите площадь треугольника АОВ, если СО = 3 см, АВ = 12 см.

7. Биссектрисы BF и AT равнобедренного треугольника ABC, осно­вание которого ВС, пересекаются в точке О. Вычислите длину отрезка ОТ, если АВ = 14 см, а площадь треугольника АОВ равна 35 см².

8. Биссектрисы AF и ВК треугольника ABC пересекаются в точ­ке О. Верно ли, что ∠ ОСА = ∠ ОСВ?

9. В треугольнике ABC биссектрисы CF и AT пересекаются в точ­ ке О (рис. 41, а). Вычислите величину угла АВО, если ∠ ОАС = 31°, ∠ ОСВ = 22°.

: .-■■--	в	■ -..	Щ %
rr.iv.:-	*■■ At-",v/' ■	.- - V	'V:-;.i'f:';"
■■■■■■:■ ■'	■іі*\і ■■		\іУЛ*--ї
1. ---•.• .	/ \ ^Е'		■VV'.V-'-'v.'
FL	\ъ	<	Щі0.
■ ""-У j	Str*>	■^,	1
'Д "■"■■■'	т '_\_ ■ "" Г-'" ■* „		. х
\..-'J','i
■ . .

а)

в)

б) Рис. 41

10. ABCD — квадрат. Биссектриса BF угла ABD пересекает диагональ AC квадрата в точке S (рис. 41, б). Вычислите градусную меру угла SDB.

Скачено с Образовательного

11. ABC — равнобедренный треугольник, основание которо­го — отрезок АС. Биссектриса AF и высота ВТ пересекаются в точке О (рис. 41, в). Вычислите градусную меру угла ОСТ, если ∠ ABC = 40°.

12. Биссектрисы AF и ВТ углов при основании равнобедренного треугольника АВ С пересекаются в точке О (рис. 42, а). Докажите, что прямая СО перпендикулярна основанию АВ данного треугольника.

13. Серединный перпендикуляр / к стороне АВ параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке F, которая служит ее серединой (рис. 42, б). Вычислите расстояние от вершины В до точки F, если ВС= 18 см.

		В
J	*f/	^	^0
А '			с

а)

в)

б) Рис. 42

14. Серединный перпендикуляр l к боковой стороне AB равно­ бедренного треугольника ABC пересекает боковую сторону BC в точке O (рис. 42, в). Докажите, что периметр треугольника AO C равен AB + AC .

15. ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C. Серединный перпендикуляр l к гипотенузе AB пересекает катет AC в точке F так, что AF = 10 см. Вычислите периметр треуголь­ ника FBC, если BC = 8 см.

16. На медиане BF треугольника ABC постройте точку, равноуда­ленную от вершин B и С.

17. Дана прямая l и две точки A и B, лежащие по одну сторону от прямой l. Постройте равнобедренный треугольник, основанием которого является отрезок AB, а вершина лежит на прямой l.

портала www.adu.by

46