Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

37

19. 

    На катете ВС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине С как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу в точке D. Вычислите площадь треугольника ABC, если CD = 6 см и DB : DA = 4 : 9.

20. Хорды АВ и CD пересекаются в точке F, которая является серединой хорды АВ. Вычислите длину хорды АВ, если CD = 25 см и FC = 9 см.

21. Хорды АВ и CD проходят через точку О, которая лежит внутри окружности и является серединой хорды АВ. Вычислите длину хорды АВ, если СО = 9 см и СО : OD = 1 : 3.

22. Точка О — основание перпендикуляра, проведенного из точки F окружности к диаметру АВ, АО = а, ВО = Ь. Докажите, что FO = yjab, т. е. FO — среднее геометрическое а и Ь.

23. Точка /Оделит хорду АВ в отношении 1 : 3, считая от точки А, хорда CD пересекает хорду АВ в точке F. Чему равна длина хорды АВ, если CD = 40 см и DF = 10 см?

24. Точка О — основание перпендикуляра, проведенного из точки F окружности к ее диаметру АВ. Вычислите радиус окружности, если ВО = 8 см и FO = 12 см.

25. Точка О является точкой пересечения хорд АВ и CD. Вычислите длины отрезков DO и ОС, если АО = 4 см, ВО = 6 см, а отрезок DO на 5 см больше отрезка СО.

26. Диаметр АВ и хорда CD окружности перпендикулярны и пе­ресекаются в точке О. Вычислите радиус окружности, если АО = 2 см, длина хорды CD на 2 см меньше диаметра.

II

27. Хорды АВ и DC окружности пересекаются в точке О (рис. 35, а).

Докажите, что Z 1 = Z 2 = — (-иАС + •uBD).

2

28. Из точки О, лежащей вне окружности, проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках А, С и В, D

(рис. 35, б). Докажите, что АО = {yjCD — yjAB).

2

Скачено с Образовательного

б)

а)

Рис. 35

29. Две окружности касаются внутренним образом в точке А. Хорды АВ и АС большей окружности пересекают меньшую окружность в точках О и F соответственно. Докажите, что АО : OB = AF : FC.

30. Две окружности касаются внутренним образом в точке А. Отрезок АВ — диаметр большей окружности, а хорда ВК большей окружности касается меньшей окружности в точке С. Найдите угол CAB, если угол СВА равен а.

31. Из точки В к окружности проведена прямая, которая касается окружности в точке А. В окружности проведена хорда АС так, что угол ВАС является острым. Точка F лежит на дуге АС, расположенной внутри острого угла ВАС так, что yjAF = yjFC. Найдите расстояние от точки F до касательной, если d (F, АС) = а.

32. Радиус окружности равен R. Из точки S, расположенной вне окружности, проведена секущая SB, которая проходит через центр О окружности так, что центр окружности лежит между точкой В пе­ресечения секущей с окружностью и точкой S, SA — касательная к окружности, где А — точка касания. Найдите, на каком расстоянии точка S находится от центра окружности, если SB = 3SA.

33. В треугольнике ABC известны стороны АВ = 2 см, ВС = 4 см, СА = 3 см. Окружность, которая проходит через вершины В и С, пере­секает прямую АС в точке К, лежащей на луче СА, а прямую АВ — в точке Т. Известно, что АК= 1 см. Вычислите длины отрезков KJ и ТА.

34. Вершины треугольника ABC лежат на окружности и АВ : ВС = 2 : 3, точка Т делит дугу АС пополам, хорда ВТ пересекает

портала www.adu.by

38