Глава 1 Вопросы к первой главе

1. Верно ли, что прямая, имеющая общую точку с окружностью, называется касательной к окружности?

2. Каким свойством обладает радиус окружности, проведенный в точку касания прямой и окружности?

3. Каким свойством обладают отрезки касательных к окруж­ности, проведенных из одной точки?

1. Сформулируйте признак касательной к окружности.

4. Сформулируйте признак касания двух окружностей внешним образом.

2. Какой угол называется центральным углом окружности?

3. Что называется градусной мерой дуги окружности?

4. Дайте определение вписанного в окружность угла.

5. Чему равна градусная мера вписанного в окружность угла?

10. Сформулируйте теорему об угле между хордой и ка са-тельной.

11. Каким свойством обладают отрезки пересекающихся хорд окружности?

12. Сформулируйте теорему об отрезках секущей и ка са-тельной.

13. Каким свойством обладают точки биссектрисы угла тре­угольника?

14. Верно ли, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?

15. Дайте определение окружности, вписанной в треугольник.

16. Верно ли, что в каждый треугольник можно вписать единственную окружность?

17. Докажите теорему о существовании окружности, описанной около треугольника.

18. Дайте определение описанной около четырехугольника окружности.

19. Каким свойством обладают стороны четырехугольника, описанного около окружности?

[20]. Сформулируйте условие, при котором в четырехугольник можно вписать окружность. 21. Каким свойством обладают углы четырехугольника, впи­санного в окружность?

[22]. Сформулируйте условие, при котором около четырехугольника можно описать окружность.

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

₂

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника Теорема синусов

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

2) Отсюда следует, что выполняются равенства: Глава 2

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

§ 1. Теорема синусов

В этом параграфе докажем теорему синусов, которая позволяет находить неизвестные стороны треугольника по данной стороне и двум углам, а также вычислять градусные меры углов, если известны две стороны и угол, лежащий против одной из этих сторон.

Предварительно докажем следующую теорему, которая позволяет находить площадь треугольника , если известны две его стороны и угол между ними. Данная теорема может быть применена при решении многих задач.

Те о р е м а 1 (о нахождении площади треугольника через две стороны и синус угла между ними). Площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон на синус угла между ними.

а) б)

Рис. 65

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть дан треугольник ABC, в котором известен угол A и AB = c,

AC = b. Докажем, что площадь данного треугольника S_ABC = ¹ cbsinA.

2 Возможны три случая: угол A — острый; угол A — тупой; угол

A — прямой.

¹ b ⋅ BF. 2 В прямоугольном треугольнике ABF катет BF = c ⋅ sinA. Таким

ABC

образом, S_ABC = cbsinA.

1) Пусть угол A — острый (рис. 65, а). Пусть BF — высота тре­угольника, проведенная из вершины B, тогда S

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 75

„ „ „_г „ 1 , _п„ В

I) Пусть угол А — тупой (рис. bo, б). э_Авс=о ■ Вг. прямо­угольном треугольнике ABF катет BF = с ■ sin а, где а = 180° — ZA. Так как sin a = sin (180° — ZA) = sin Л, то S_ABC = b ■ с sin Л. Таким

1

1

образом, в каждом из случаев 1) и 2) площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон на синус угла между ними.

b ⋅ c sin 90°

= — be.

2

2

Если ZA = 90°, то S_ABC Теорема доказана. Воспользуемся утверждением этой теоремы для доказательства теоремы синусов.

Теорема 2 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство. 1) Пусть ABC — произвольный тре­угольник, АВ = с, ВС = а, АС = b (рис. 66).

^a = ^b = ^c . sinA sinB sinC

На основании предыдущей теоремы мо­жем записать следующие равенства:

S_ABC = ¹ cbsin A, S_ABC = ¹ ac sin B и 22

= ¹ absinC. 2

^/

ABC

Докажем, что

1

1

Рис. 66

cbsinA = acsinB (1) и acsinB = absinC (2).

22 22

3) Из равенства (1) следует, что bsinA = asinB. Отсюда

^b = ^a (3). sinB sinA

ъ

4) Из равенства (2) следует, что csin B = bsinC . Отсюда получа­ ем, что

(4).

sin B

sinC

Из равенств (3) и (4) следует, что = = .

sinA sinB sinC Теорема доказана.

ь

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

76

Гл а в а 2

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 77

ме синусов

В силу результата задачи 2 § 4 первой главы выполняется ра­венство ^a = 2R, где R — радиус окружности, описанной около

sin A

треугольника ABC. Учитывая это равенство и утверждение теоремы

синусов, получаем следствие: ^a = ^b = ^c = 2R.

sinA sinB sinC

Та к как площадь треугольника S_ABC

abc

. 4R

¹bcsin A и sin A = ^a , то

2 2R

отсюда следует, что S_ABC

Полученная формула позволяет находить площадь треугольника, зная длины его сторон и радиус описанной окружности, или радиус окружности, описанной около треугольника, если известны длины сторон и площадь треугольника.

Рассмотрим примеры решения некоторых задач.

Задача 1. Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если длина его боковой стороны равна 10 см, а угол при вершине основания равен 75°.

Дано: ААВС, АВ = ВС= 10 см, Z ВАС = 75° (рис. 67, а, б).

Н а й т и. ^дас-

„. Т „ 1 „ _п9 • 1 . г\г\ nnn

6) аким образом, Ь_АВС=АВ smB = S_ABC = • 1UU- sinoU =

2 2

1 . „„ 1 _ог , 9

= • 1UU- =zo(см ).

2 2

Ответ: 25 см².

	Ав
	fi:'t\
	ШШк
А1	/.■-Г'-І^-.'.'лгМ
	с

Задача 2. В треугольнике Л5С длина стороны АС равна 4 см, Z ВАС = 60°, Z ВСА = 70°. Вычислите длины сторон Л5 и ВС (рис. 68).

Решение.

Для вычисления длин сторон восполь­зуемся теоремой синусов.

AC

1) Пусть АВ = х и 5С = у. Тогда по теоре-

X

Отсюда получаем,

sinC sinB

AC sin С AC sin 70°

что X = = .

sin В sin В

Сумма углов треугольника равна 180°, Р^ис- 68

следовательно, АВ= 180°— (60° + 70°) = 50°. По таблице Брадиса или с помощью калькулятора находим sin70° « 0,9397, sin 50° « 0,7660.

4-0,9397

* 3,96.

Таким образом, x

0,7660

2) Длину стороны BC также вычислим по теореме синусов:

У

ACsin A ACsin60° 4⋅0,8660

= ^AC . Отсюда находим y sin B

sin A

sinB sin50°

О т в е т: AB ≈ 3,96 см; BC ≈ 4,09 см.

0,7660

* 4,09 ( см).

а)

б)

Рис. 67

Решение.

Воспользуемся теоремой о выражении площади треугольника через длины двух его сторон и синус угла между ними.

1) На основании теоремы 1 площадь треугольника можем найти

по формуле S_ABC =—AB-BCs'mB =—АВ2 sin В .

2) Сумма углов треугольника равна 180°, а углы при осно­ вании равнобедренного треугольника равны, следовательно, Z В= 180° — (ZA + ZC) = 180° — 150° = 30°.

Скачено с Образовательного

Задача 3. В треугольнике ABC угол B равен 40°, а длины сторон BC и A C равны соответственно 8 см и 6 см. Вычислите градусные меры углов A, C и длину стороны AB.

Р е ш е н и е.

AC BC

Отсюда

По теореме синусов выполняется равенство

BCsin B

8sin 40°

sinB sinA

следует, что sinA

По таблице Брадиса или с по-

АС 6

мощью калькулятора находим, что sin40° « 0,6428. Следовательно,

8-0,6428

sinA

0,8570.

6

портала www.adu.by

78

Гл а в а 2

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 79

а)

в)

8. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD равна произ­ведению длин а и b его смежных сторон на синус угла а между ними, т. е S_ABCD = ab sin а (рис. 69, б).

9. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD

равна половине произведения длин d_x и d₂ его диагоналей на синус

1 , , „„

угла ф между ними, т. е. S_ABCD = — a^sincp (рис. ЬУ, в).

2

10. Длина стороны АС треугольника ABC равна 6 см. Вычислите длину стороны ВС, если ZB = 60° и Z А = 45° (рис. 70, а).

11. Основанием прямой треугольной призмыЛ5С4₁5₁С₁ служит тре­угольник ABC, у которого ZB = 45°, ZA = 30° и ВС = 2 см. Вычислите длину диагонали грани СС_ХА_ХА, если АС = АА₁ (рис. 70, б).

12. Длины сторон Л5 и 5С треугольника Л5С равны соответ­ственно V2 см и л/3 см. Вычислите градусную меру угла А, если Z С = 45°.

портала www.adu.by

Этому значению синуса соответствуют два угла: ZA_X~ 59° и ZA₂» 121°.

ВС -sin С

1) В случае ZA_X~ 59° находим Z С₁ = 180° — Z В — Z А₁ « 81°.

АВ ВС . _л = , АВ

Теперь найдем длину стороны AB:

sinC

sin A

6-0,9877 0,8570

5,85 (см).

sin A

BC-sinC₂ 6-0,3256

2) Если ZA₂~ 121°, то Z С₂ = 180° — Zfi — Z А₂ « 19°. В этом

6,62 (см).

случае AB

sin A 0,8570

Ответ: «59°, «81°, «5,85 см или «121°, «19°, «6,62 см.

Задачи к § 1

I

1. Вычислите площадь треугольника ABC, если AB =2-yj3 см, ВС = 4 см, ZB = 60°.

2. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны рав­на 8 см, а угол при основании равен 15°. Вычислите площадь тре­угольника.

3. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а, а высота, проведенная к боковой стороне, равна h. Найдите площадь треугольника.

4. Вычислите площадь треугольника ABC, если ZA = 60°, а вы­соты, проведенные из вершин В и С, равны соответственно v3 см и 2V3 см.

5. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 4v3 см, а угол при основании равен 22°30'. Верно ли, что площадь треугольника равна 15-\/2 см²?

6. Вычислите площадь треугольника ABC, если ZB = 105°, Z С = 30°, а высота, проведенная из вершины В, равна 2 см.

7. ABC — произвольный треугольник, отрезок CF — его бис­сектриса (Z 1 = Z 2), АС = Ь, ВС = а. Воспользовавшись формулой для нахождения площади треугольника, докажите, что AF : FB = b : a (рис. 69, а).

Скачено с Образовательного

LJV.'i■-•-- V;^W-^ :.-.
	(
."'.?.&£: У'.-'У	V '"-""m-*"
5^;;v-#	V' 'V^vi
Vr /	¥ЛЙй;
■■■■■•-.■•--'-?jr	V*'"'- "^
'■-У.'':'''':Х	тЬ-V'"^-"'
i-^C-y	wV V- i
■;i^v^	«oyfc '-
оГЬ^......	... -rt-
:'.^!.л-,-...--.,<у.-',\--г.--	■ ;:Vj' к, '•I'4} V
■.■.-..■.-. A-.- -.1 .■ ._.-.:■.■■	■

а)

б) Рис. 69

Рис. 70

■7*	і..'-.'j-V Zv		ш ■
	s	tfy
:'"'■"		/
5	^Щр	ТжЛ		й'
	с;

б)

80

Гл а в а 2

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 81

13. Точка F лежит на катете АВ прямоугольного треугольника ABC (Z ВАС = 90°) так, что Z AFC = р и Z FCB = ос. Найдите длину отрезка FB, если АС = а.

14. В треугольнике ABC длина стороны АВ равна 6 см, ZB = 95°, ZA = 55°. Вычислите длины сторон ВС и АС.

15. В равнобедренном треугольнике ABC, основание которого есть отрезок АС, отрезок AF — биссектриса. Вычислите ее длину, если АС = 10 см, Z ABC = 100°.

16. Вычислите длину стороны АС треугольника ABC, если ВС = = 2V3 см, ZA = 45° и Z С = 15°.

17. В треугольнике ABC длины сторон АВ и ВС равны соответ­ственно 5 см и 6 см, а Z С = 25°. Вычислите градусную меру угла А, если известно, что этот угол острый.

18. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD диагональ АС яв­ляется биссектрисой угла А. Вычислите длину диагонали АС, если АС = CD, AD = 12 см, ZABC = 150°.

19. В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла А пе­ресекает сторону ВС в точке F. Вычислите длину отрезка AF, если Z BCD = 30° и DC = 6 см.

20. ABCD — параллелограмм, в котором угол А равен а. Точка/⁷ лежит на стороне AD так, что Z BFD : Z А = 2 : 1. Найдите длину отрезка BF, если CD = b.

21. В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла Л, кото­рый равен 60°, пересекает сторону ВС в точке F. Вычислите площадь треугольника ABF, если BF = 5 см.

22. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС угол при вершине В равен а. Найдите биссектрису СТ этого треугольника, если АС = а.

23. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС отрезок BF — биссектриса. Найдите BF, если Z В = р, ВС = т.

24. Диагональ BD прямоугольника ABCD образует со стороной АВ угол 15°. Биссектриса угла А пересекает диагональ BD в точке F. Вычислите длину отрезка BF, если CD = 2v3 см.

Скачено с Образова

25. В треугольнике ABC сторона АС равна a, Z А = ос, Z 5 = р. Найдите площадь треугольника.

26. Один из углов треугольника равен 60°, а радиус описанной окружности равен 4v3 см. Вычислите длину стороны, лежащей против данного угла.

27. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если Z ABC = 30° и АС = 6 см.

28. В треугольнике ABC углы Л и С равны соответственно 45° и 30°. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника, если высота, проведенная из вершины В, равна 4 см.

29. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если АС = 8v3 см, ZA = 40° и Z С = 20°.

30. Радиус окружности, описанной около треугольника АВ С, равен V3 см. Вычислите длину стороны АС, если ZA = 40°, Z С = 80°.

а) б) в)

Рис. 71

31. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ служит треугольник ABC, у которого ZA = 80°, ZB = 40°, а радиус описан­ной окружности равен 4v3 см. Вычислите радиус окружности, опи­санной около грани AA₁B₁B, если площадь этой грани равна 60 см² (рис. 71, а, б, в).

32. Вычислите площадь параллелограмма ABCD, если его пери­метр равен 12 см, АВ = 2 см и Z ABC = 30°.

33. Вычислите площадь прямоугольника, длина диагонали которого равна 4 см, а угол между диагоналями равен 30°.

портала www.adu.by

82

Гл а в а 2

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника 83

34. В параллелограмме ABCD диагональ АС = т. Найдите площадь параллелограмма, если Z CAB = а и Z CAD = р.

II

35. Вычислите площадь треугольника, длина одной стороны кото­рого равна 4 см, а прилежащие к ней углы равны 30° и 45°.

36. В треугольнике длины двух сторон равны 15 см и 6v3 см. Вычислите площадь треугольника, если высоты, проведенные к этим сторонам, пересекаются под углом 60°.

37. В остроугольном треугольнике ABC длины сторон АВ и ВС равны соответственно 10 см и 18 см. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если высота, проведенная из вершины В, равна 6 см.

38. Высота BD, проведенная к основанию равнобедренного тре­угольника ABC, равна т, а Z ABC = 30°. Через середину высоты BD проведена прямая, пересекающая боковые стороны АВ и ВС в точках Е и Е соответственно. Найдите длину отрезка ЕЕ, если Z BEF = 60°.

39. Радиус окружности, описанной около остроугольного тре­угольника ABC, равен 10 см. Отрезок BD — высота треугольника и АВ = 10 см, AD = 6 см. Вычислите длину стороны ВС.

40. Отрезок BE — медиана треугольника ABC, Z ABC = 75°, Z CBE= 45°. Вычислите радиус окружности, описанной около тре­угольника ABE, если радиус окружности, описанной около треуголь­ника СВЕ, равен см.

41. В треугольнике ABC углы Л и С равны соответственно а и у, отрезок AD — биссектриса треугольника. Найдите отношение пло -щадей треугольников ABD и ADC.

42. Найдите площадь равнобедренной трапеции ABCD с основа­ниями АВ и CD, если AD = a, Z ВСА = ср и Z CDA = ос.

43. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если Zfi = p, Z Л = ос, а высота BE равна h.

44. Сторона ВС треугольника ABC равна a, а Z А = ос. Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ЛВС. Найдите ра­диус окружности, проходящей через точки В, С и О.

Скачено с Образовательного

45. Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ слу­жит равнобедренный треугольник ABC, у которого АВ = ВС = 15 см. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если сумма площадей боковых граней призмы равна 216 см², а длина бокового ребра равна 4 см.

46. Окружность радиуса R проходит через вершины Л и В тре­угольника ABC и касается прямой АС в точке Л. Найдите площадь треугольника ABC, если Z CAB = а и Z ABC = р.

47. В равнобедренном треугольнике ABC основание АС = а, СМ — биссектриса треугольника, МК|| АС, К є ВС. Найдите площадь треугольника КВМ, если Z ВСА = ос.

портала www.adu.by