- •В. В. Шлыков
- •Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
- •Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Координатный метод
- •Уважаемые друзья!
- •Глава 1 вписанные и описанные многоугольники
- •§1. Взаимное расположение прямой
- •И окружности. Касательная к окружности
- •Глава 1
- •Глава 1
- •12 Глава 1
- •14 Глава 1
- •Глава 1
- •Задачи к § 1
- •20 Глава 1
- •Глава 1
- •Глава 1
- •§ 2. Центральные и вписанные углы
- •Глава 1
- •Глава 1
- •Глава 1
- •3. Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей.
- •Глава 1
- •Задачи к § 2
- •34 Глава 1
- •Глава 1
- •Глава 1
- •Глава 1
- •§ 3. Замечательные точки треугольника
- •Глава 1
- •Задачи к § 3
- •Глава 1
- •Глава 1
- •Глава 1
- •§ 4. Вписанные и описанные треугольники
- •Глава 1
- •Глава 1
- •Глава 1
- •56 Глава 1
- •Глава 1
- •Глава 1
- •§ 5. Вписанные и описанные четырехугольники
- •Глава 1
- •Глава 1
- •Задачи к § 5
- •Глава 1
- •Глава 1
- •Глава 1
- •Глава 1 Вопросы к первой главе
- •Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника Теорема синусов
- •2) Отсюда следует, что выполняются равенства: Глава 2
- •§ 1. Теорема синусов
- •Теорема косинусов. Формула Герона. Решение треугольников
- •§ 2. Теорема косинусов. Формула Герона. Решение треугольников
- •Задачи к § 2 I
- •Вопросы ко второй главе
- •Глава 3
- •§ 1. Правильные многоугольники
- •Правильные многоугольники
- •2. Окружность, описанная около правильного многоугольника.
- •Глава 3
- •Глава 3
- •4) Площадь s правильного п-угольника можем найти по
- •Глава 3
- •5) Радиус r вписанной окружности выражается через
- •Задачи к § 1
- •108 Глава 3
- •110 Глава 3
- •§ 2. Длина окружности
- •2. Теорема об отношении длины окружности к ее диаметру.
- •Глава 3
- •Глава 3
- •Задачи к § 2
- •Глава 3
- •Глава 3
- •Глава 3
- •Глава 3
- •§ 3. Площадь круга. Площадь сектора
- •Глава 3
- •Глава 3
- •Задачи к § 3
- •130 Глава 3
- •132 Глава 3
- •Глава 3
- •Глава 3
- •§ 4. Координатный метод
- •Глава 3
- •Глава 3
- •Глава 3
- •Задачи к § 4
- •Глава 3
- •Глава 3 Вопросы к третьей главе
- •Глава 4 задачи для повторения
- •§ 1. Треугольники и окружность
- •1. Прямоугольный треугольник и окружность
- •Задачи для повторения
- •Глава 4
- •Глава 4
- •2. Равнобедренный треугольник и окружность
- •Глава 4
- •Глава 4
- •3. Произвольный треугольник и окружность
- •Глава 4
- •Глава 4
- •§ 2. Четырехугольники и окружность
- •1. Произвольный четырехугольник и окружность
- •Глава 4
- •2. Трапеция и окружность
- •Глава 4
- •166 Глава 4
- •Глава 1
- •Глава 2 § 1
- •Глава 3 § 1
- •Глава 4 § 1
- •Значения тригонометрических функций
- •172 Приложение
- •220004, Минск, проспект Победителей, 11.
4) Площадь s правильного п-угольника можем найти по
360°
о I п2
формуле Ь = — И.п sin
2 п
Соединим вершины правильного п-угольника с его центром
1
(рис. 86, б). Тогда многоугольник разбивается на п равных
пОД-ОДвіпф
nSoAAz =
треугольников. Следовательно, S
1 п2 360 = п\—Р sin
2 п
1 п2 . 360° -Н nsm
2 я
. Что и необходимо было доказать. n
портала www.adu.by
104
Глава 3
Правильные многоугольники
105
180°
п
180°
радиус
R
описанной
окружности
по
формуле
r
=
Rcos
/goo.180!)5) Радиус r вписанной окружности выражается через
n 180° 0„
= /<cos (рис. оо, а).
п
Что и требовалось доказать.
5. Построение правильных многоугольников. Вопрос о построении правильного треугольника уже рассматривался ранее. Покажем, каким образом можно с помощью циркуля и линейки построить правильный треугольник, вписанный в окружность.
Задача 1. Постройте правильный треугольник, вписанный в данную окружность.
Поиск решения.
Пусть правильный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке О. Проведем диаметр BF этой окружности, обозначим буквой Т точку пересечения этого диаметра
со стороной АС. Тогда положение точки Т на отрезке OF ха-
1 рактеризуется равенством О! = It, так как О! = —Or = —к
2 (задача 13, § 4, гл. 1). Кроме того, AC _l_ BF. Теперь можем осуществить построение (рис. 87, а).
а)
в)
б) Рис. 87 П о с т р о е н и е.
Проводим диаметр BF окружности и строим точку T — середину отрезка OF (рис. 87, б).
Строим прямую l, которая проходит через точку T и перпендикулярна диаметру BF (рис. 87, б).
Скачено с Образовательного
Отмечаем точки A и C пересечения прямой l с окружностью.
Строим отрезки BA и BC (рис. 87, в). Треугольник ABC — искомый.
Докажите самостоятельно, что построенный треугольник правильный.
Задача 2. Постройте правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку a.
вь |
СҐ-—-~Р |
lF |
/ ■. . . -■■■-.' ■■ |
||
Л** -^Ь |
а)
в)
б) Рис. 88
П о и с к р е ш е н и я.
Пусть ABCDFE — правильный шестиугольник, сторона которого равна a. Рассмотрим описанную около этого шестиугольника окружность. Известно, что радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, т. е. R = AB = BC = CD = DF = FE = EA = a (рис. 88). Этим можем воспользоваться для построения шестиугольника.
П о с т р о е н и е.
Строим окружность с произвольным центром O и радиуса a: ω (O; a).
Выбираем на этой окружности произвольную точку A и строим окружность ω1 (A; a). Отмечаем точки B и E пересечения окружности ω с окружностью ω1 (рис. 88, б).
Далее строим точку C, которая является одной из точек пересечения окружности ω и окружности ω2 (B; a). Аналогично строим точки D и F. Шестиугольник ABCDFE — искомый (рис. 88, в).
Заметим, что результат задачи 1 позволяет построить правильный шестиугольник, если построен правильный треугольник.
портала www.adu.by
Правильные
многоугольники 107
параллельных
его
противолежащим
сторонам
(рис.
89, а).
Докажите,
что
треугольник
A1B1C1
—
правильный.