Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

11

Для доказательства равенства АВ = АС рассмотрим треугольники АВО и АСО.

2. По свойству касательной Z 1 = 90° и Z 2 = 90°, т. е. треуголь­ники АВО и АСО — прямоугольные.

3. ААВО = ААСО, так как АО — общая гипотенуза, а катеты ОВ и ОС равны как радиусы окружности. Отсюда следует, что АВ =АС.

Следствие 1 доказано.

Из равенства треугольников АВО и АСО вытекает также, что Z 3 = Z 4. Таким образом, получаем еще одно следствие.

Следствие 2. Отрезки касательных к окружности, проведен­ные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теперь докажем признак, который позволяет устанавливать, в каком случае прямая касается окружности. Оказывается, для этого достаточно доказать, что прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности.

Теорема (признак касательной). Если прямая перпендику­лярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности.

Доказательство.

1) Пусть прямая / проходит через точку А окружности и перпендикулярна радиусу ОА (рис. 6). Для доказательства того, что прямая / касается окружнос­ ти, достаточно доказать, что она имеет с этой окружностью единственную общую точку.

Рис. 6

2) Так как точка А лежит на окружнос­ ти и прямая / проходит через точку А, то А — общая точка прямой / и окружности.

3) Других общих точек прямая / и окружность не имеют. Действительно, для любой точки X е I отрезок ОХ является наклонной, так как по условию ОА _1_ /. Следовательно, ОХ > ОА, т. е. точка X не принадлежит окружности.

Теорема доказана.

Таким образом, точка А — единственная общая точка прямой / и окружности, а, значит, / — касательная к окружности.

Скачено с Образовательного

Задача 1. Через точку Л, находящуюся от центра О окружности на расстоянии 10 см, проведены две касательные АВ и АС, где В и С — точки касания. Вычислите площадь S_№0C четырехугольника АВО С, если АВ + АС = 16 см (рис. 7).

Решение.

1. Площадь четырехугольника АВОС равна сумме площадей треугольников АВО и АСО.

2. По свойству касательной Z ОВА = = Z ОСА = 90°. Прямоугольные треуголь­ники АВО и АСО равны по гипотенузе и катету (АО — общая, ОВ = ОС). Значит,

Рис. 7

Saboc = 25_лво = 2 • — ОВ ■ АВ.

3) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Следовательно, АВ =АС = 8 см. Теперь по теореме

yfOA²

-8 = 6 (см). Таким

Пифагора вычисляем ОВ = л/ОЛ² -АВ² =-\Д0² образом, Sj^qq = ОВ ■ АВ = 6 • 8 = 48 (см²). Ответ: 48 см².

Задача 2. Вершина A равнобедренного треугольника ABC с ос­нованием BC является центром окружности радиуса AF, где точка F — середина основания треугольника. Докажите, что прямая BC является касательной к окружности (рис. 8, а, б).

Дано: ААВС, АВ =АС, F є ВС, BF = FC, со (Л; AF).

Д о к а з а т ь:

BC — касательная.

а) б)

Рис. 8

Доказательство.

1) Прямая ВС проходит через конец F радиуса окружности ю (Л; AF). Для доказательства того, что ВС является касательной, достаточно доказать, что ВС _1_Л/\

портала www.adu.by