Глава 1

49. 

    BD и AE — высоты равнобедренного треугольника ABC с основанием AC . Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и AEC, равны соответственно 10 см и 12см. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

50. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе c и радиусу r вписанной окружности.

51. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе c и медиане m, проведенной к катету.

52. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе c и биссектрисе l прямого угла.

Вписанные и описанные четырехугольники

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

60

Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

61

§ 5. Вписанные и описанные четырехугольники

1. Окружность, вписанная в четырехугольник. Определим по­нятие окружности, вписанной в четырехугольник.

О п р е д е л е н и е. Окружность называется вписанной в четы­рехугольник, если она касается всех сторон четырехугольника. В этом случае четырехугольник называется описанным около окружности.

Например, на рисунке 53, а изображен квадрат и вписанная в него окружность. Заметим, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник, не яв­ляющийся квадратом, нельзя вписать окружность. Существует окружность, которая касается трех сторон прямоугольника, и не су­ществует окружности, касающейся всех четырех сторон прямоуголь­ника — неквадрата (рис. 53, б).

а)

б)

Рис. 53

Следующая теорема характеризует свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность.

Те о р е м а 1 (о свойстве четырех­угольника, в который можно вписать окружность). Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Пусть в четырехугольник ABCD вписана окружность, которая касается его сторон в точках F, O, T и E (рис. 54).

Рис. 54

Докажем, что AB + CD = BC + AD.

Скачено с Образовательного

2) Та к как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AF = AE = a, BF = BO = b, CO = CT = m, DT = DE = c.

3 ) Таким образом, A B + C D = (A F + F B ) + ( C T + DT ) = = a + b + c + m и BC + AD = (BO + OC) + (AE + ED) = a + b + + c + m. Отсюда следует, что AB + CD = BC + AD.

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение, которое отвечает на воп­рос, при каком условии в четырехугольник можно вписать окруж­ность.

[Те о р е м а 2 (условие, при котором в четырехугольник можно вписать окружность)]. Если в выпуклом четырехуголь­нике суммы длин противолежащих сторон равны, то в этот четы­рехугольник можно вписать окружность.

б)

а)

Рис. 55

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, в котором АВ + CD = BC + AD. Докажем, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

2. Рассмотрим окружность, которая касается трех сторон: АВ, ВС и AD. Центр О этой окружности есть точка пересечения биссектрис углов СВА и BAD (рис. 55, а).

3. Докажем, что эта окружность вписана в четырехугольник, т. е. что она касается также и стороны CD. Предположим, что это не так. Тогда либо сторона CD не пересекает окружность, либо является секущей.

4) Пусть сторона CD не пересекает окружность (рис. 55, б). Проведем касательную DF, где F ^ BC. Так как ABFD — описанный четырехугольник, то верно равенство АВ + DF = AD + BF. Кроме

портала www.adu.by

62