Глава 4

Четырехугольники и окружность

Дано: ААВС, Z ABD = Z DBC, АВ = с, ВС = а, BD = /₆, AD = с_и DC = а_х. Доказать: ll = ас — а₁с₁.

а) б)

Рис. 119 Решение.

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть F — точка пересечения прямой BD и этой окруж­ности и DF = х (рис. 119, б).

1. По свойству отрезков пересекающихся хорд выполняется ра­венство 4 • х = а_х ■ с_х.

2. Треугольники ABD и FBC подобны, так как Z ABD = Z FBC по условию и Z ВАС = Z BFC, поскольку являются вписанными в окруж­ность и опираются на одну и ту же дугу.

l_b +x

1. Из подобия треугольников ABD и FBC следует, что ^lb Отсюда следует, что l_b² = ac – l_bx. ^a

2. Таким образом, l_b² = ac – l_bx = ac – a₁c₁.

Зл/2

2

см.

57. В треугольнике ABC длина биссектрисы BF равна Вычислите длины сторон AB и AC , если BC = 2 см и CF = 1 см.

58. Биссектриса AD пересекает медиану CE в точке O. В каком отношении точка O делит биссектрису AD, считая от точки A, если BD : DC = 2 : 1?

59. Биссектриса AD треугольника ABC равна m. Окружность, построенная на этой биссектрисе как на диаметре, делит стороны AB и AC в отношении 2 : 1 и 1 : 1 соответственно, считая от вершины A. Найдите площадь треугольника ABC.

60. Окружность, центр которой лежит на стороне AC , касается сторон AB и BC треугольника ABC в точках F и T соответственно. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что точка T — се­редина стороны BC, отрезок BF в два раза больше отрезка FA , а радиус окружности равен R.

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

160

Глава 4

Задачи для повторения

161

§ 2. Четырехугольники и окружность

1. Произвольный четырехугольник и окружность

1. Точка С — середина дуги АВ окружности. Через точку С про­ведены хорды CD и CF, которые пересекают хорду АВ в точках К и Т соответственно. Докажите, что около четырехугольника DKJF можно описать окружность (рис. 120, а, б).

Дано: kjAC = kjCB, СD и СF — хорды, К=АВ П CD, Т = АВ П CF. Доказать: существует окруж­ность, описанная около DKTF.

а) б)

Рис. 120

Решение.

Достаточно доказать, что Z DKJ + Z DFT = 180°.

1) ZDKI ={yiDtB + yjAnC) =(yjDrB +^jACB).

2 2 2

(∪DmA + ∪AC B ).

2) Аналогично Z DFT = — kjDAC =

q\ Т 2 2 2

o) аким образом,

Z DKl + Z Dt I = {yiDtB + yjACB) + {yiDmA + ^jACB) =

2 2 2 2

= {yiDtB + yjDmA + yjACB) = loO .

2

Что и требовалось доказать.

2. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведена прямая, пересекающая окружности в точках С и/), каса­тельные к окружностям, проведенные в точках Си/), пересекаются в точке О. Докажите, что около четырехугольника ACOD можно опи­сать окружность.

3. Диагонали вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке О, а прямые АВ и CD пересекаются в точке Т. Вычислите градусные меры углов ABD и BDC, если ZAOD = 104°, ZATD = 28°.

Скачено с Образовательного

4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, а прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Вычислите градусную меру угла AOD, если градусная мера угла BDC равна 32°.

5. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке F, а Z ABC = Z CDA = 90°. Вычислите градусные меры углов BAD и BCD, если Z AFD = 80°, а градусная мера дуги CD равна 60°.

6. Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, а сторона АВ — диаметр окружности, прямые AD и СВ пересекаются в точке F. Вычислите градусную меру угла AFB, если сторона DC равна радиусу окружности.

7. Около окружности радиуса 6 см описан четырехугольник ABCD. Вычислите его площадь, если АВ = 15 см, ВС = 10 см, AD = 20 см.

8. В окружность вписан четырехугольник с углами 120°, 90°, 60° и 90°. Вычислите радиус окружности, если площадь четырехугольника равна 27v3 см², а его диагонали взаимно перпендикулярны.

9. В окружность радиуса 6 см вписан четырехугольник ABCD, диагонали АС и BD которого взаимно перпендикулярны. Точки Е и F являются серединами отрезков АС и BD соответственно. Точка К пере­сечения диагоналей находится от центра О окружности на расстоянии 5 см. Вычислите площадь четырехугольника ABCD, если площадь четырехугольника OEKF равна 12 см².

10. В окружность вписан четырехугольник, одна диагональ кото­рого — диаметр окружности. Докажите, что ортогональные проекции противолежащих сторон четырехугольника на другую диагональ равны между собой.

11. В окружность вписан четырехугольник ABCD, сторона АВ которого — диаметр окружности, а диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Вычислите длину отрезка АО, если ВС = 12 см, СО = 9 см,

Sabc = 3Sacd.

12. Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника ABCD, пе­ ресекающиеся в точке О, разбивают его на треугольники, площади

портала www.adu.by

162