110 Глава 3

точка O — центр окружности, описанной около грани ABC, точка T — середина ребра BC (рис. 92, б).

а) б) в)

Рис. 92

32. ABCA₁B₁C₁ — прямая треугольная призма, основаниями ко­ торой служат правильные треугольники ABC и A₁B₁C₁ (рис. 92, в). Вычислите радиус окружности, описанной около основания призмы, если все ребра призмы равны между собой, а длина диагонали боковой

грани призмы равна 3V2 см.

33. В окружность вписан правильный треугольник ABC. Постройте правильный шестиугольник, вписанный в окружность, для которого точки А, В и С служат вершинами.

34. Постройте: а) правильный четырехугольник, вписанный в окружность; б) правильный треугольник, описанный около окружнос­ ти; в) правильный четырехугольник, описанный около окружности; г) правильный восьмиугольник, вписанный в окружность.

II

35. Найдите отношение площади правильного шестиугольника, описанного около окружности, к площади правильного шестиуголь­ника, вписанного в эту окружность.

36. Центры двух окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды, которая равна а. Найдите расстояние между центрами этих окружностей, если в одной окружности хорда служит стороной правильного вписанного треугольника, а в другой — стороной впи­санного квадрата.

Скачено с Образова

Правильные многоугольники 111

37. Площадь вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника равна S. Найдите площадь правильного четырехугольника, вписанного в эту окружность.

38. С помощью циркуля и линейки постройте правильный тре­угольник по отрезку т, равному его высоте.

39. С помощью циркуля и линейки постройте правильный шести­угольник по отрезку а, равному его меньшей диагонали.

40. Дан равносторонний треугольник ABC. С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник A₁B₁C₁ так, что А₁ Є ВС, В₁ ЄАС, C₁ ЄАВ и стороны A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ перпендикулярны сторонам АС, АВ, ВС соответственно.

41. В квадрате ABCD точки К, Р, Е и Т — середины сторон АВ, ВС, CD, DA соответственно. Докажите, что четырехугольник, ограни­ченный прямыми ВТ, PD, С/Си АЕ, является квадратом. Найдите его площадь, если площадь квадрата ABCD равна S.

42. В квадрат А В CD, сторона которого равна а, вписана окруж­ность. Окружность касается стороны CD в точке Е. Найдите длину хорды, соединяющей точки, в которых окружность пересекается с прямой АЕ.

43. В квадрат со стороной а вписана окружность. Найдите радиус меньшей окружности, которая касается этой окружности и сторон квадрата.

44. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других сторон на отрезки, длины которых равны 2 см и 23 см. Вычислите радиус окружности.

портала www.adu.by

Длина окружности и площадь круга

113

§ 2. Длина окружности

Длина окружности

1. Понятие длины окружности. Рассмотрим вопрос о вычис­лении длины окружности. Пусть в окружность вписан правильный n-угольник. Если число n сторон правильного n-угольника, впи­санного в окружность, неограниченно возрастает, то геометричес­кая фигура, образованная его сторонами, все меньше и меньше отличается от окружности (рис. 93, а, б, в). В вузовском курсе математического анализа устанавливается, что существует число, к которому стремятся периметры P_n правильных n-угольников, вписанных в окружность при неограниченном возрастании числа их сторон. Это число называется длиной окружности. Таким об­разом, за длину окружности принимается число, к которому стремятся периметры вписанных в окружность правиль­ных n-угольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

а)

в)

б) Рис. 93

Длина окружности зависит от ее радиуса, окружность большего радиуса имеет большую длину. Вместе с тем можно доказать, что отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное.