Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

55

а)

в)

■■■	ІШр		•'. '
ї:"
		/	/\ '
■		_/	i% i

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

б) Рис. 51

17. Вычислите радиус окружности, описанной около прямо­угольного треугольника ABC с прямым углом С, если ∠ CZM = 30°, АС = 9 см.

18. ABCA_lB_lC_l — прямая призма (все боковые грани прямой при­ змы — прямоугольники), основанием которой служит прямоугольный треугольник АСВ с прямым углом С (рис. 51, в). Вычислите диаметр окружности, описанной около треугольника СВВ_и если АВ = 13 см, АС = 5 см и ВВ₁ = 5 см.

19. Вычислите площадь прямоугольного треугольника, если ра­диус описанной около него окружности равен 5 см, а длина одного из катетов — 8 см.

20. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 10 см, а высота, проведенная из его вершины к основанию, 8 см. Вычислите радиус окружности, описанной около этого тре­угольника.

21. Радиус окружности, описанной около равнобедренного тре­угольника, равен R, а его боковая сторона равна а. Найдите высоту треугольника, которая проведена к его основанию.

22. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 13 см, а радиус окружности, описанной около этого треугольника,

, 1 равен /— см. Вычислите площадь этого треугольника.

24

23. Около равнобедренного треугольника ABC, основание кото­ рого — отрезок АС, описана окружность с центром О, BF — диа-

метр окружности, T = BFf)AC. Вычислите длину диаметра BF, если ВС = 10 см, ВТ = 8 см.

24. Вычислите радиус окружности, описанной около равнобед­ренного треугольника, если длина его основания равна 10 см, а длина боковой стороны 13 см.

25. ABC — равнобедренный треугольник, основание которо­го — отрезок АС. Вычислите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если ∠ ABC = 120° и АВ = 12 см.

26. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30°, а его боковая сторона равна а. Докажите, что диаметр окружности, описанной около этого треугольника, равен 2а.

27. Сторона равностороннего треугольника равна а. Докажите, что радиус г вписанной в этот треугольник окружности можно найти

по формуле r

а-у/3 _го

= (рис. Ы, а).

28. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треуголь­ ник, равен г. Докажите, что площадь этого треугольника S = 3v3 r (см. рис. 52, а).

29. Докажите, что площадь S любого треугольника можно найти по формуле S = гр, гдер — полупериметр этого треугольника, г — радиус вписанной окружности (рис. 52, б).

		S-rp ;
Л / ■ V Г	Ф Р	: .'■■".■■■'
А .-■		с

б)

а)

Рис. 52

30. Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен R, угол при его основании ϕ. Найдите площадь треугольника.