Глава 1

Вписанные и описанные многоугольники

17

Скачено с Образовательного портала www.adu.by

Аналогично можно доказать, что окружность со₁ {О_х; R_x) располо­жена вне части плоскости, ограниченной окружностью со₂ (0₂; R₂). Теперь доказано, что окружности со₁ (0{, R_x) и сс>₂ (0₂; R₂) касаются внешним образом.

Можно доказать также следующую теорему.

Теорема 3 (условие касания окружностей внутренним образом). Две окружности касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

Другими словами, если окружности co_l (0{, R_x) и со₂ (0₂; R₂) ка­саются внутренним образом, то О_х0₂ = \R_l-R_Q\. И наоборот, если

Щ_х -R₂ , то окружности касаются

выполняется равенство O₁O₂ внутренним образом.

Задача 4. Две окружности с центрами в точках O и K, радиусы которых равны 16 см и 9 см соответственно, касаются внешним об­разом в точке C. К окружностям проведена общая касательная AB, где A и B — точки касания. Общая касательная, проведенная через точку C, пересекает касательную AB в точке T (рис. 14, а). Вычислите длину отрезка CT.

а)

б)

Рис. 14

Р е ш е н и е.

Для решения задачи воспользуемся тем, что отрезки каса­тельных, проведенные к окружности из одной точки, равны, а радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны каса­тельной. Учтем также, что окружности касаются внешним образом, а значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из

1 одной точки, равны, то JL = JA = In, т. е. JL =An. Значит, необ-

п 2

ходимо вычислить длину отрезка An.

2) Проведем радиусы ОА, KB и отрезок/^/) || OK, D е ОА (рис. 14, б). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен каса­ тельной, то Z BAD = 90°, т. е. треугольник BAD — прямоугольный.

Следовательно, катет АВ = ^JDB² -DA².

3) Четырехугольник ODBK — параллелограмм, значит, DB = ОК- Так как окружности касаются внешним образом, то ОК= ОС + СК= 16 + 9 = 25 (см). Значит, DB = 25 см. Кроме того, DA = ОА — OD = ОА — KB = 16 — 9 = 7 (см). Теперь можем вы­ числить АВ =^JDB² -DA² =V25² -7² = 24 (см). Следовательно,

„„ 1 „_п . „

JL =An = lz (см).

2

Ответ: 12 см.

Задачи к § 1

I

в)

а)

б) Рис. 15

1. Отрезок АВ — диаметр окружности. Прямые 1_Х и /₂ касаются окружности в точках Л и В (рис. 15, а). Докажите, что прямые 1_Х и /₂ параллельные.

2. Угол между прямыми 1_Х и /₂, которые пересекаются в точ­ке Л, — прямой. Окружность с центром в точке О касается данных прямых в точках В и С соответственно (рис. 15, б). Докажите, что четырехугольник АВОС — квадрат.

Вписанные и описанные многоугольники 19

18 Глава 1

3. Точка F касания прямой / и окружности с центром в точке О служит серединой отрезка АВ, где А, В принадлежат прямой / (рис. 15, в). Точка D лежит на луче OF так, что OF = FD. Докажите, что четырехугольник OADB — ромб.

4. Прямая / касается окружности с центром в точке S и ра­диусом, равным 4 см, в точке Е. Точка А лежит на касательной так, что Z ESA = 60°. Вычислите расстояние от точки А до центра окружности.

5. Точка F — точка касания прямой / и окружности со, центром которой является точка О. Точка D лежит на касательной так, что DO : OF = 2 : 1. Докажите, что угол FOD равен 60°.

6. Точка F — точка касания окружности с центром в точке О и прямой /. Точка А лежит на касательной, и отрезок АО пересекает окружность в точке Т, а отрезок FT равен радиусу окружности. Вычислите длину отрезка AF, если FT = 2 см.

7. Окружность с центром в точке О касается прямой / в точке А. Точка F лежит на прямой / и находится от точек О и Л на расстоянии 25 см и 24 см соответственно. Вычислите длины отрезков, на которые отрезок Отделится окружностью.

8. Точка Л находится от центра окружности на расстоянии 12 см. Вычислите градусную меру угла между касательными, проведенными через точку Л, если радиус окружности равен 6 см.

9. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окруж­ности с центром О, проведенными из точки Л. Вычислите радиус окружности, если АО = 8 см, а Z ВАС = 60°.

10. Точка D — точка касания прямой / и окружности с центром в точке О. Точка С лежит на прямой / так, что площадь треугольника CDO равна 24 см². Вычислите расстояние между точками О и С, если радиус окружности равен 6 см.

11. Прямая / касается окружности с центром в точке О и радиусом, равным 5 см, в точке Л. Точка В лежит на прямой / на расстоянии 13 см от центра окружности. Вычислите площадь треугольника АОВ.

12. Через точку Л, лежащую вне части плоскости, ограниченной окружностью с центром О, проведены прямые, которые касаются окруж-

Скачено с Образова

а) б) в)

Рис. 16

ности в точках В и С. Точка F пересечения окружности и отрезка ОА является его серединой (рис. 16, а). Докажите, что ZBOC = 120°.

13. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке F. Докажите, что окружность со (С; CF) касается прямой BD (рис. 16, б).

14. Через точку Л к окружности с центром в точке О проведена касательная AF, где F — точка касания. Окружность пересекает от­резок АО в точке D, и через эту точку проведена прямая DT (T e OF), параллельная касательной AF. Вычислите длину отрезка АО, если радиус окружности равен 6 см, а расстояние от центра окружности до прямой DT равно 2 см (рис. 16, в).

15. К окружности с центром в точке О и радиусом 1 см из точки Л проведены две касательные АВ и АС, где В и С — точки касания. Вычислите градусную меру угла ВАС, если длина отрезка касательной равна ^3 см.

16. Из точки Л к окружности с центром в точке О радиуса R про­ведены две касательные, угол между которыми равен 60°. Найдите длину хорды, соединяющей точки касания.

17. Из точки Л к окружности с центром в точке О проведены две касательные АВ и АС, где В и С — точки касания. Хорда ВС пересекает отрезок ОА в точке F. Вычислите радиус окружности, если длина хорды ВС равна 8 см, а длина отрезка AF равна 16 см (рис. 17, а).

18. Из точки Л к окружности с центром в точке О проведены две касательные. Вычислите расстояния от точки Л до точек касания, если

портала www.adu.by