- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи обробки даних у психологічних і педагогічних експериментах.– Львів: Видавничий центр лну імені Івана Франка, 2006. – 168 с.
- •І. Основи теорії ймовірностей
- •Формула повної ймовірності
- •Формули Байєса
- •Задачі до розділу і.
- •Іі. Випадкова величина Поняття випадкової величини
- •Функція розподілу випадкової величини
- •Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини
- •Характеристики розподілу випадкової величини
- •Математичне сподівання випадкової величини
- •Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.
- •Квантилі
- •Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
- •Біномний розподіл
- •Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то
- •Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- •Умовні закони розподілу
- •Коваріація і коефіцієнт кореляції
- •Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій
- •Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева
- •Теорема Чебишева
- •Закон Бернуллі
- •Теорема Ляпунова
- •Задачі до розділу іі.
- •Ііі. Елементи математичної статистики
- •Генеральна сукупність і вибірка
- •Дискретний варіаційний ряд
- •Інтервальний варіаційний ряд
- •Точкові та інтервальні оцінки
- •Поняття про статистичну перевірку гіпотез
- •Задачі до розділу ііі.
- •Іv. Методи математичної обробки даних у психології Ознаки і змінні. Шкали вимірювання ознак
- •Перевірка гіпотези про однорідність вибірки
- •Перевірка гіпотези про узгодженість розподілів
- •Критерій Пірсона
- •Критерій Колмогорова
- •Критерій Смирнова
- •Перевірка гіпотези про рівність двох дисперсій
- •Виявлення відмінностей у рівні досліджуваної ознаки Критерій Розенбаума
- •Критерій Манна-Уітні
- •К ритерій Стьюдента
- •І. Вибірки взяті з однієї генеральної сукупності
- •Іі. Вибірки взяті з різних генеральних сукупностей
- •Перевірка наявності зсуву у значеннях досліджуваної ознаки
- •Критерій знаків
- •Критерій Вілкоксона
- •Парний t-тест Стьюдента
- •Перевірка впливу фактора на зміну рівня досліджуваної ознаки
- •Критерій Краскела-Уоллеса
- •Критерій тенденцій Джонкхієра
- •Критерій Фрідмана
- •К ритерій тенденцій Пейджа
- •Однофакторний дисперсійний аналіз
- •П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками
- •Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних в інтервальних шкалах
- •Задачі до розділу іv.
- •Критичні значення розподілу
- •Критичні значення розподілу Фішера-Снедекора
- •Критичні значення критерію Розенбаума
- •Критичні значення критерію Манна-Уітні
- •Критичні значення критерію знаків
- •Критичні значення критерію Вілкоксона
- •Критичні значення критерію Краскела-Уоллеса
- •Критичні значення критерію Джонкхієра
- •Критичні значення критерію Фрідмана
- •Критичні значення критерію Пейджа
- •Критичні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена
- •Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
- •Визначник матриці. Обернена матриця
- •Системи лінійних алгебричних рівнянь
- •Вступ до математичного аналізу
- •Числові послідовності та їх границі
- •Границя функції в точці. Односторонні границі
- •Неперервність функції
- •Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці
- •Диференційовність функції
- •Монотонність функції. Екстремуми
- •Похідні вищих порядків
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
- •В изначений інтеграл
- •Невластиві інтеграли
- •Частинні похідні функцій багатьох змінних
- •Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
- •Алфавітний покажчик
- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи аналізу даних у психологічних і педагогічних експериментах
В изначений інтеграл
Нехай на відрізку задано обмежену функцію . Спробуємо знайти площу фігури, обмеженої лініями , , та (рис. 33). Для цього побудуємо розбиття відрізка точками , так що . На кожному елементі розбитя виберемо точки , які утворять набір . Позначимо і . Число називатимемо інтегральною сумою функції f, яка відповідає розбиттю і набору точок . Цю суму можна вважати наближеним значенням площі заданої криволінійної трапеції. Точне значення площі могло б бути знайдене при нескінченному подрібненні розбиття .
Якщо існує , яка не залежить ні від способу розбиття, ні від вибору точок на елементах розбиття, то її називають визначеним інтегралом функції на відрізку :
.
У цьому випадку кажуть, що функція інтегровна за Ріманом на відрізку . Неперервні та кусково неперервні на відрізку функції є інтегровними за Ріманом на цьому відрізку.
Визначений інтеграл має такі властивості.
Якщо і — інтегровні за Ріманом на відрізку , то
.
Якщо — інтегровна за Ріманом на відрізку і , то
.
.
.
Якщо функція неперервна на відрізку , то функція є первісною для функції f .
Якщо — будь-яка інша перевісна функції , то . Покладаючи в цій рівності , отримаємо . Звідси і
.
Останню формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца і використовують для обчислення визначених інтегралів від неперервних функцій. Наприклад,
=
.
Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла матиме вигляд
.
Якщо функція диференційовна на разом з оберненою до неї функцією, причому , а функція — неперервна на відрізку , то справджується рівність
,
яку називають формулою заміни змінної у визначеному інтегралі.
Невластиві інтеграли
Якщо функція обмежена на і інтегрована за Ріманом на будь-якому відрізку всередині цього проміжка, то невластивим інтегралом першого роду від функції f на проміжку називають границю
.
Якщо ця границя існує і скінченна, то інтеграл називають збіжним.
Якщо функція необмежена на , але інтегрована за Ріманом на будь-якому відрізку всередині цього проміжка, то невластивим інтегралом другого роду від функції f на відрізку називають границю
.
Якщо ця границя існує і скінченна то інтеграл називають збіжним. Наприклад, інтеграл є збіжним, бо . Інтеграл — розбіжний, бо .
Частинні похідні функцій багатьох змінних
Частинною похідною за змінною функції у внутрішній точці її області визначення називають границю
.
Для обчислення частинних похідних функції багатьох змінних користуються тими ж правилами диференціювання, що й для похідної функції однієї змінної. Наприклад, для функції частинні похідні за змінними х, у та z відповідно дорівнюють , , .
Диференціал першого порядку функції багатьох змінних обчислюється за формулою .
Якщо частинні похідні функції багатьох змінних розлядати як функції точки, то послідовним диференціюванням можна обчислювати похідні вищих порядків , і т.д.
Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
Команди у Maple 8 завершуються крапкою з комою або двокрапкою. Двокрапка означає, що команда має бути виконаною, але результат її виконання не треба виводити на екран.
Вирази у Maple 8 записують як і в більшості мов програмування. Наприклад, вираз задається командою (a-3*b*sin(x^2))/(exp (x)+З*cos(2*x)^2);. Для спрощення виразів використовують команду simplify, аргументом якої є спрощуваний вираз. Для обчислення наближеного значення виразу використовують команду evalf. Наприклад, evalf(Pi, 100); виведе на екран 100 знаків числа .
Знайти розв'язок рівняння, або системи рівнянь можна командою solve. Наприклад, solve(х^3-5*х^2+6=0,х); знаходить розв'язки рівняння , а команда solve({5*x-3*y=5,2*x+7*y=b},{х,у}); — розв’язки системи рівнянь
Для розв'язування задач лінійної алгебри треба спочатку завантажити відповідний пакет командою with(linalg);
Матрицю А розмірності задає команда matrix. Наприклад, команда A:=matrix(3,4,[5,7,-2,4,3,-5,0,2,5,7,-1,2]); задає матрицю .
Операції додавання матриць та множення матриці на число записують за допомогою звичайних знаків арифметичних операцій. Наприклад, А+В; -В; -2*В+3*А; А-х*Е;. Множення матриць позначається знаком &*. Наприклад, A&*B; B&*A; A&*A&*A+5*A&*A-3*A+5*E;. Вивести на екран матрицю можна командою evalm.
Визначник квадратної матриці С обчислюють командою det(C);. Для знаходження матриці, оберненої до матриці С, можна використати команду inverse(C); або команду С^(-1);.
Власні значення матриці знаходить команда eigenvalues, а власні вектори — eigenvectors.
Для задання функції слугує команда ->. Наприклад, команда f:=x-> exp(5*sin(x)); задає функцію , команда F:=(x,y)->(x-у^3 )/(х+3*у); — функцію , а команда z:=x->piecewise(x <=5 and x>-3,x-5,x+3); — функцію
Для побудови графіків функцій використовують пакет, що завантажується командою with(plots);. Команда plot(f(x),x=a..b); будує графік функції на проміжку . Команда plot(f(х,у),х=а.. b, у=с..d); будує поверхню, яка є графіком функції на прямокутнику .
Для обчислення границь послідовностей і функцій можна використати команду limit. Команда limit((1+1/n)^n,n=infinity); обчислює границю послідовності , коли . Команда limit((х^3-8)/(х^2-4),х=2); обчислює , а команди limit(abs(x-l)/ sin(x-1),x=l,left); та limit(abs(x-l)/sin(x-l),x=l,right); — односторонні границі та .
Для обчислення похідних функцій використовують команду diff. Так команда diff(x^2*cos(ln(x)),x); обчислює похідну за х функції , послідовність команд g:=x->diff(x^2*cos(ln(x)),х$2); g(1); — другу похідну цієї функції в точці х = 1, а, наприклад, команда diff ((х^2+у^2)*ехр(х-у),х$2,у$3); — частинну похідну .
Команда int служить для обчислення як невизначених, так і визначених інтегралів. Наприклад, команда int((x+3)*sin(2x/3),x); обчислює невизначений інтеграл , а команда int((x^3-2*х+5)* ехр(-х),х=0..2); — визначений інтеграл .
Збіжний невластивий інтеграл обчислюють командою int(x ^2*ехр(-х^2),х=0..infinity);.
Кратні інтеграли можна обчислити після їх попереднього зведення до повторних. Наприклад, команда int(int(x*y,y=-sqrt(4-x^2).. sqrt(4-x^2)),x=-2..2); обчислює подвійний інтеграл .
Суму збіжного ряду можна обчислити за допомогою команди sum. Наприклад, команда sum((-1)^n/n^2,n=1..infinity); обчислить суму ряду .