- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи обробки даних у психологічних і педагогічних експериментах.– Львів: Видавничий центр лну імені Івана Франка, 2006. – 168 с.
- •І. Основи теорії ймовірностей
- •Формула повної ймовірності
- •Формули Байєса
- •Задачі до розділу і.
- •Іі. Випадкова величина Поняття випадкової величини
- •Функція розподілу випадкової величини
- •Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини
- •Характеристики розподілу випадкової величини
- •Математичне сподівання випадкової величини
- •Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.
- •Квантилі
- •Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
- •Біномний розподіл
- •Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то
- •Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- •Умовні закони розподілу
- •Коваріація і коефіцієнт кореляції
- •Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій
- •Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева
- •Теорема Чебишева
- •Закон Бернуллі
- •Теорема Ляпунова
- •Задачі до розділу іі.
- •Ііі. Елементи математичної статистики
- •Генеральна сукупність і вибірка
- •Дискретний варіаційний ряд
- •Інтервальний варіаційний ряд
- •Точкові та інтервальні оцінки
- •Поняття про статистичну перевірку гіпотез
- •Задачі до розділу ііі.
- •Іv. Методи математичної обробки даних у психології Ознаки і змінні. Шкали вимірювання ознак
- •Перевірка гіпотези про однорідність вибірки
- •Перевірка гіпотези про узгодженість розподілів
- •Критерій Пірсона
- •Критерій Колмогорова
- •Критерій Смирнова
- •Перевірка гіпотези про рівність двох дисперсій
- •Виявлення відмінностей у рівні досліджуваної ознаки Критерій Розенбаума
- •Критерій Манна-Уітні
- •К ритерій Стьюдента
- •І. Вибірки взяті з однієї генеральної сукупності
- •Іі. Вибірки взяті з різних генеральних сукупностей
- •Перевірка наявності зсуву у значеннях досліджуваної ознаки
- •Критерій знаків
- •Критерій Вілкоксона
- •Парний t-тест Стьюдента
- •Перевірка впливу фактора на зміну рівня досліджуваної ознаки
- •Критерій Краскела-Уоллеса
- •Критерій тенденцій Джонкхієра
- •Критерій Фрідмана
- •К ритерій тенденцій Пейджа
- •Однофакторний дисперсійний аналіз
- •П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками
- •Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних в інтервальних шкалах
- •Задачі до розділу іv.
- •Критичні значення розподілу
- •Критичні значення розподілу Фішера-Снедекора
- •Критичні значення критерію Розенбаума
- •Критичні значення критерію Манна-Уітні
- •Критичні значення критерію знаків
- •Критичні значення критерію Вілкоксона
- •Критичні значення критерію Краскела-Уоллеса
- •Критичні значення критерію Джонкхієра
- •Критичні значення критерію Фрідмана
- •Критичні значення критерію Пейджа
- •Критичні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена
- •Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
- •Визначник матриці. Обернена матриця
- •Системи лінійних алгебричних рівнянь
- •Вступ до математичного аналізу
- •Числові послідовності та їх границі
- •Границя функції в точці. Односторонні границі
- •Неперервність функції
- •Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці
- •Диференційовність функції
- •Монотонність функції. Екстремуми
- •Похідні вищих порядків
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
- •В изначений інтеграл
- •Невластиві інтеграли
- •Частинні похідні функцій багатьох змінних
- •Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
- •Алфавітний покажчик
- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи аналізу даних у психологічних і педагогічних експериментах
Формули Байєса
Нехай подія А може здійснитись за умови здійснення однієї з несумісних подій , які утворюють повну систему. Події називають гіпотезами. Якщо подія А у випробуванні здійснилась, то повинна здійснитись одна з подій . Виникає питання про переоцінку ймовірностей гіпотез при умові, що подія А у випробуванні здійснилась.
За формулою ( І.6) ймовірність добутку подій А і Ні дорівнює , тому або, враховуючи ( І.9),
. ( І.10)
Формули ( І.10) називають формулами Байєса або формулами ймовірностей гіпотез. Вони дозволяють переоцінити ймовірність гіпотез після того, як подія здійснилась.
Приклад 6. В умовах прикладу 5 знайти ймовірність, що водій, який потрапив в аварію протягом року, належить до третьої групи.
Розв’язання: За формулами Байєса .
Задачі до розділу і.
І.1. Підчас розіграшу лотереї 5 з 36 витягнули першу кулю. Яка ймовірність, що її номер містить: а) цифру 0; б) цифру 2; в) цифру 5; г) цифру 8?
І.2. Кинуто два гральні кубики. Яка ймовірність що: а) сума очок дорівнює 7; б) сума очок дорівнює 10; в) сума очок дорівнює 10, а модуль різниці — 4; г) сума очок дорівнює 10, а добуток — 30?
І.3. Куб, всі грані якого пофарбовані, розрізали на 125 однакових кубиків. Яка ймовірність, що навмання вибраний кубик має: а) одну; б) дві; в) три пофарбовані грані?
І.4. Абонент забув дві останні цифри телефонного номера і, пам’ятаючи, що вони різні, набрав їх навмання. Яка ймовірність, що абонент набрав правильний номер?
І.5. В урні міститься 10 білих і 5 синіх кульок. Навмання вибирають 3 кульки. Яка ймовірність, що: а) всі вони виявляться білими; б) одна з кульок — біла, а дві інші — сині; в) одна з кульок — синя, а дві інші — білі?
І.6. Площина розлінована паралельними прямими на відстані 2а одна від одної. На площину навмання кидають монету радіусом . Яка ймовірність, що монета не перетне жодної з прямих?
І.7. На лист паперу в клітинку зі стороною а навмання кидають монету радіуса . Яка ймовірність, що монета не перетне жодної з ліній сітки? Вважається, що ймовірність попадання точки в плоску фігуру пропорційна площі фігури і не залежить від її розміщення?
І.8. Дві студентки домовились зустрітись з третьої до четвертої години дня. Кожна з них вибирає час зустрічі самостійно. Перша, хто приходить на зустріч, чекає іншу протягом двадцяти хвилин, після чого йде. Яка ймовірність, що вони зустрінуться?
І.9. Навмання вибирається два числа з проміжку [0; 1]. Яка ймовірність, що їх сума не перевищує одиниці, а добуто не менший, ніж 0,16?
І.10. Два лучники одночасно стріляють у мішень. Імовірність попасти в мішень для першого лучника складає 0,8, а для другого — 0,6. Яка ймовірність, що в мішень влучить тільки одна стріла?
І.11. Імовірність здійснення кожної з двох незалежних подій відповідно дорівнюють і . Яка ймовірність здійснення лише однієї з цих двох подій?
І.12. Імовірність, що при вимірюванні деякої величини буде допущена істотна похибка дорівнює 0,4. Яка ймовірність, що в трьох незалежних вимірюваннях істотна похибка буде допущена лише один раз?
І.13. Імовірність хоча б одного влучання в мішень з трьох пострілів дорівнює 0,784. Яка ймовірність влучання в мішень з одного пострілу?
І.14. Проведено флюорографічне обстеження 10000 людей віком понад 60 років. У 3300 з них виявлено захворювання легень. 4000 з обстежених палять, а 1800 серед них мають хворі легені. Чи можна стверджувати, що паління і захворювання легень у обстеженій групі є незалежними подіями?
І.15. У спортивному таборі відпочиває група студентів-психологів серед яких 70% першокурсників і 30% другокурсників. Серед першокурсників 10% хлопців, а серед другокурсників — 5%. Всі хлопці по черзі заготовляють дрова для кухні. Яка ймовірність, що довільно вибраного дня заготовляє дрова першокурсник?
І.16. Відомо, що 37,5% людей має групу крові А, 20,9% — групу В, 7,9% — групу АВ і 33,7% — групу О. Людина з групою крові О може бути донором для будь-кого, з групою А — для людей з групою А або АВ, з групою В — для людей з групою В або АВ, а з групою АВ — тільки для людей з групою АВ. Яка ймовірність, що випадкова людина зможе бути донором для потерпілого?
І.17. В умовах попередньої задачі випадкова людина виявилась донором для потерпілого. Яку групу крові найімовірніше має донор?
І.18. У середньому один хлопчик на 720 народжується із зайвою Y-хромосомою. Агресивна поведінка у таких хлопчиків зустрічається у 19 разів частіше, ніж у решти. Психолог зауважив агресивність хлопчика. Яка ймовірність, що цей хлопчик має зайву Y-хромосому? Яка ймовірність, що її немає?
І.19. Імовірність виявити патологію при обстеженні дорівнює , а визнати хворою здорову людину — . Яка ймовірність, що визнана хворою людина насправді здорова, якщо частка хворих серед населення дорівнює ?