Критерій Фрідмана

Критерій Фрідмана дозволяє перевірити гіпотезу про відсутність відмінності в ріні досліджуваної ознаки для трьох і більше зв’язаних вибірок (тестування однієї групи в різних умовах змушуючого фактора). Альтернативною виступає гіпотеза про наявність такої відмінності.

Статистика Фрідмана обчислюється за формулою

,

де п — кількість об’єктів у групі, k — кількість замірів, що відповідають різним значенням змушуючого фактора, — сума рангів для -го заміру, отриманих ранжуванням замірів окремо для кожного досліджуваного об’єкта.

Критерій має правосторонню критичну область. Для невеликих вибірок і невеликого k=3 та k=4 критичні значення статистики Фрідмана наведено в таблиці 12 додатка. Для великих вибірок статистика має розподіл, близький до з ступенем вільності.

Заміри i та j можна вважати попарно різними на спільному рівні значущості , якщо

,

де і — квантиль нормального розподілу рівня .

У пакеті Statistica 6.0 критерій Фрідмана реалізовано у субмодулі Comparing multiple dep. samples (variables) модуля Nonparametrics.

Приклад 35. З групою з семи учнів протягом двох місяців проводився тренінг, спрямований на зниження їх агресивності. Заміри індексів ворожості (Iv) та агресивності (Ia) за методикою Басса-Даркі у цій групі проведені перед початком тренінгу, після його завершення та через півроку після тренінгу подано в таблиці. Чи можна стверджувати, що тренінг виявився ефективним?

Учень	Iv			Ia
	20.02	8.05	30.10	20.02	8.05	30.10
Б-н Наталка	11	6	5	20	11	19
Г-к Тарас	12	5	11	24	12	14
Д-ц Микола	13	7	5	21	18	20
Л-о Марта	10	4	15	12	7	13
С-а Оксана	6	4	6	9	8	6
С-л Юлія	9	6	5	12	7	8
Ш-о Юлія	10	4	7	14	9	11

Розв’язання: Сформулюємо статистичні гіпотези.

Н₀: Рівні індексу з часом статистично не змінилися.

Н₁: Відмінності різних замірів рівнів індексів істотні.

Перевірку гіпотез для індексу ворожості проведемо вручну. Подальші дослідження здійснимо з використанням пакету Statistica 6.0.

Для знаходження статистики Фрідмана проранжуємо окремо для кожного учня показники індексу ворожості.

Учень	Iv
	20.02		8.05		30.10
Б-н Наталка	11	3	6	2	5	1
Г-к Тарас	12	3	5	1	11	2
Д-ц Микола	13	3	7	2	5	1
Л-о Марта	10	2	4	1	15	3
С-а Оксана	6	2,5	4	1	6	2,5
С-л Юлія	9	3	6	2	5	1
Ш-о Юлія	10	3	4	1	7	2
Суми рангів		19,5		10		12,5

Емпіричне значення статистики Фрідмана

.

Критичні значення статистики Фрідмана для дорівнюють , . Оскільки , то на цьому рівні значущості нульову гіпотезу можемо відхилити.

Відмінність між замірами можна вважати істотною на рівні значущості , якщо модуль різниці рангових сум перевищує число

.

У нашому випадку , тобто після тренінгу відбувся достовірний зсув рівня індексу ворожості, який з часом не змінився.

Результати перевірки відмінностей індексу агресивності в пакеті Statistica 6.0 наведені на рис. 27. Як бачимо рівень значущості емпіричного значення статистики дорівнює 0,0058 і є істотно меншим, ніж навіть 0,01. Отже, рівні замірів індексу агресивності істотно відрізняються. Далі . Тобто істотними є відмінності між рівнями індексу агресивності до і відразу після тренінгу. Однак з часом ці відмінності нівелюються. Як бачимо, в цілому тренінг можна вважати ефективним.