- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи обробки даних у психологічних і педагогічних експериментах.– Львів: Видавничий центр лну імені Івана Франка, 2006. – 168 с.
- •І. Основи теорії ймовірностей
- •Формула повної ймовірності
- •Формули Байєса
- •Задачі до розділу і.
- •Іі. Випадкова величина Поняття випадкової величини
- •Функція розподілу випадкової величини
- •Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини
- •Характеристики розподілу випадкової величини
- •Математичне сподівання випадкової величини
- •Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.
- •Квантилі
- •Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
- •Біномний розподіл
- •Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то
- •Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- •Умовні закони розподілу
- •Коваріація і коефіцієнт кореляції
- •Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій
- •Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева
- •Теорема Чебишева
- •Закон Бернуллі
- •Теорема Ляпунова
- •Задачі до розділу іі.
- •Ііі. Елементи математичної статистики
- •Генеральна сукупність і вибірка
- •Дискретний варіаційний ряд
- •Інтервальний варіаційний ряд
- •Точкові та інтервальні оцінки
- •Поняття про статистичну перевірку гіпотез
- •Задачі до розділу ііі.
- •Іv. Методи математичної обробки даних у психології Ознаки і змінні. Шкали вимірювання ознак
- •Перевірка гіпотези про однорідність вибірки
- •Перевірка гіпотези про узгодженість розподілів
- •Критерій Пірсона
- •Критерій Колмогорова
- •Критерій Смирнова
- •Перевірка гіпотези про рівність двох дисперсій
- •Виявлення відмінностей у рівні досліджуваної ознаки Критерій Розенбаума
- •Критерій Манна-Уітні
- •К ритерій Стьюдента
- •І. Вибірки взяті з однієї генеральної сукупності
- •Іі. Вибірки взяті з різних генеральних сукупностей
- •Перевірка наявності зсуву у значеннях досліджуваної ознаки
- •Критерій знаків
- •Критерій Вілкоксона
- •Парний t-тест Стьюдента
- •Перевірка впливу фактора на зміну рівня досліджуваної ознаки
- •Критерій Краскела-Уоллеса
- •Критерій тенденцій Джонкхієра
- •Критерій Фрідмана
- •К ритерій тенденцій Пейджа
- •Однофакторний дисперсійний аналіз
- •П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками
- •Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних в інтервальних шкалах
- •Задачі до розділу іv.
- •Критичні значення розподілу
- •Критичні значення розподілу Фішера-Снедекора
- •Критичні значення критерію Розенбаума
- •Критичні значення критерію Манна-Уітні
- •Критичні значення критерію знаків
- •Критичні значення критерію Вілкоксона
- •Критичні значення критерію Краскела-Уоллеса
- •Критичні значення критерію Джонкхієра
- •Критичні значення критерію Фрідмана
- •Критичні значення критерію Пейджа
- •Критичні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена
- •Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
- •Визначник матриці. Обернена матриця
- •Системи лінійних алгебричних рівнянь
- •Вступ до математичного аналізу
- •Числові послідовності та їх границі
- •Границя функції в точці. Односторонні границі
- •Неперервність функції
- •Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці
- •Диференційовність функції
- •Монотонність функції. Екстремуми
- •Похідні вищих порядків
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
- •В изначений інтеграл
- •Невластиві інтеграли
- •Частинні похідні функцій багатьох змінних
- •Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
- •Алфавітний покажчик
- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи аналізу даних у психологічних і педагогічних експериментах
Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
Якщо ознаки Х та Y виміряні у порядкових шкалах, то для дослідника більш суттєвими є не значення , що характеризують і-ий об’єкт , а пари , де — ранг серед чисел , а — ранг серед чисел .
Якщо випадкові величини Х та Y статистично незалежні, то для будь-якої послідовності чисел всі перестановок чисел , які відіграватимуть роль рангів є рівноймовірними. У протилежному випадку послідовність буде визначати послідовність тим повніше, чим тісніший зв'язок між величинами Х та Y.
Статистика
відображає близькість рядів і . Вона набуває найменшого значення лише коли всі (абсолютний прямий зв’язок) і найбільшого — , коли (абсолютний зворотній зв'язок). Якщо досліджувані ознаки незалежні, то математичне сподівання статистики дорівнює .
Для зручності імовірнісної інтерпретації замість статистики розглядають статистику
,
яку називають ранговим коефіцієнтом кореляції Спірмена. Ця величина задовольняє нерівність , причому крайні значення досягаються лише у випадку абсолютного прямого чи зворотного зв’язку між рангами. Для незалежних ознак розподілена на відрізку , а її значення концентруються в околі нуля тим щільніше, чим більше п . Критичні значення статистики на рінях значущості та для малих п наведені в таблиці 14 додатка. Для великих п величина має розподіл Стьюдента з ступенями вільності. Емпіричні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена, що перевищують за модулем (а тим більше ) є підставою для відхилення гіпотези про незалежність ознак Х та Y і прийняття альтернативної гіпотези.
Якщо при ранжуванні ознак Х та Y зустрічаються однакові ранги, то ранговий коефіцієнт кореляції Спірмена обчислюють за відкоригованою формулою
.
Тут — поправки на однакові ранги для кожної з вибірок, які обчислюють за формулою
,
де т — кількість груп з однаковими рангами, а — кількість однакових рангів в і-й групі.
В пакеті Statistica 6.0 знаходження рангового коефіцієнта кореляції Спірмена реалізовано у субмодулі Correlations модуля Nonparametrics.
Приклад 39. Трьом групам — вчителі (7 чоловік), учні 8 класу (30 чоловік) та учні 11 класу (17 чоловік) — пропонували оцінити важливість таких рис ідеального вчителя: І – повага до учнів, ІІ –вимогливість, ІІІ – комунікабельність, ІV – прямолінійність, V - терпеливість, VІ – справедливість, VII – самокритичність, VIII - добре знання свого предмета, ІХ – авторитаризм, Х – чесність, ХІ – тактовність, ХІІ - почуття гумору, ХІІІ – консервативність, ХІV - обов'язковість, XV - гуманність. Усереднені по групах дані проранжували. Результати ранжування наведено в таблиці.
Риси |
Учителі |
Учні 8 класу |
Учні 11 класу |
І |
5 |
1 |
2 |
ІІ |
4 |
3 |
8 |
ІІІ |
10 |
6 |
6 |
ІV |
13 |
10 |
13 |
V |
7 |
7 |
3 |
VІ |
2 |
4 |
4 |
VII |
11 |
14 |
9 |
VIII |
1 |
2 |
1 |
ІХ |
14 |
11 |
12 |
Х |
3 |
5 |
7 |
ХІ |
6 |
9 |
11 |
ХІІ |
12 |
8 |
5 |
ХІІІ |
15 |
15 |
15 |
ХІV |
9 |
12 |
14 |
XV |
8 |
13 |
10 |
Чи можна стверджувати, що рангові послідовності для кожної з груп взаємопов’язані?
Розв’язання: Сформулюємо статистичні гіпотези.
Н0: Рангові послідовності кожної з груп попарно незалежні.
Н1: Між парами рангових послідовностей існує кореляційна залежність.
Внесемо дані в пакет Statistica 6.0. У субмодулі Correlations(Spearman, Kendall tau, gamma) модуля Nonparametrics вказуємо, що треба видати детальний звіт (Detailed report у вікні Compute), та вибираємо всі змінні в обох списках. Результати обчислень парних рангових коефіцієнтів Спірмена наведено на рис.31.
Я к бачимо, коефіцієнти рангової кореляції між усіма трьома парами ранжувань статистично відмінні від нуля. Це дає підстави відхилити нульову гіпотезу. Оскільки всі три коефіцієнти кореляції достатньо великі, можемо стверджувати, що уявлення про ідеального вчителя в усіх трьох групах узгоджуються.
Приклад 40. За даними прикладу 38 перевірити, чи існує зв'язок між заданими характеристиками, вважаючи, що елементи шкал вимірювання є впорядкованими.
Розв’язання: Сформулюємо статистичні гіпотези.
Н0: Ознаки незалежні одна з одною.
Н1: Ознаки пов’язані між собою.
Замінивши кожен клас шкали таблиці спряження сукупним рангом об’єктів, що потрапили до цього класу, (з 1 до 130 місця — ранг 65,5, з 131 до 349 — 240 і т.д. ), отримаємо таблицю
Здібності Як одягається |
65,5 |
240 |
553 |
1024 |
1479 |
1696 |
|
318,5 |
33 |
48 |
113 |
209 |
194 |
39 |
636 |
1012 |
41 |
100 |
202 |
255 |
138 |
15 |
751 |
1520 |
39 |
58 |
70 |
61 |
33 |
4 |
265 |
1689 |
17 |
13 |
22 |
10 |
10 |
1 |
73 |
|
130 |
219 |
407 |
535 |
375 |
59 |
1725 |
В пакеті MS Excel обчислимо величини, необхідні для знаходження рангового коефіцієнта кореляції Спірмена та сам коефіцієнт.
Нижче наведено формули, за якими здійснювались обчислення на цьому аркуші.
Як бачимо, рівень значущості рангового коефіцієнта кореляції Спірмена істотно менший, ніж 0,01. Це дає підстави відхилити нульову гіпотезу. Оскільки , то можемо стверджувати, що між недбалістю в одязі і розумовими здібностями простежується не дуже тісний зворотний кореляційний зв’язок.