Інтервальний варіаційний ряд

Якщо досліджувана ознака розподілена неперервно, то область зміни її значень розбивають на кілька однакових проміжків, які називають класами. Ширину класу визначають за формулою

, (ІІІ.2)

де k — кількість класів. Кількість класів та їх межі вибираються так, щоб межі класів були зручними для розрахунків. Оптимальною для вибірки об’ємом 80 – 150 елементів є кількість 8 – 12 класів.

Класи разом з частотами п_і попадання значень у кожен клас утворюють інтервальний варіаційний ряд.

Гістограмою відносних частот називають функцію, яка на кожному інтервалі набуває значення , де — відносна частота попадання значень змінної в цей інтервал. Площа підграфіка цієї функції на кожному проміжку дорівнює відносній частоті попадання значень досліджуваної ознаки у цей проміжок, а площа всього підграфіка функції дорівнює одиниці. Тому гістограма відносних частот є емпіричною щільністю розподілу ознаки. Для побудови емпіричної функції розподілу достат­ньо сполучити відрізками точки з координатами (тут , а — відносна частота, що відповідає інтервалу ).

Приклад 16. Час (у секундах) затрачений кожним із 124 учнів VII класу на розв'язування задачі з фізики становить:

52	62	69	129	75	65	11	41	22	27	52	46	49	106	14,7
73	84	73	47	81	193	119	87	17,5	24	55	37	131	56	62
69	66	47	60	76	71	91	104	61	59	55	31	45	52	61
53	42	47	53	25	48	87	85	30,5	40	85	49,2	52	54,4	24,6
33,3	51,5	49,2	42,4	54,4	30	53,5	32,8	58	37	42	38	24	28	23
28	40	41	29	39	28	30	25	30	23	23	35	21	32	34
39	10	23	22	42	27	39	39	46	60	102	22	53	44,5	90
98	67	49	142	71	30	41	144	50	28	28	27	35	38	40,8
53,8	40,8	158	135

Побудувати інтервальний варіаційний ряд, гістограму відносних частот та емпіричну функцію розподілу даного часу. Знайти медіану та квартилі розподілу.

Розв’язання: Об’єм вибірки дорівнює 124. Внісши дані в пакет MS Excel та використавши стандартні функції НАИБОЛЬШИЙ та НАИМЕНЬШИЙ визначаємо, що , а . Для зручності обчислень проміжок від 5 до 200 розіб’ємо на 15 інтервалів довжиною 13 кожен. Порахуємо частоти попадання значень випадкової величини Т в кожен з інтервалів (в Excel можна використати функцію СЧЁТЕСЛИ).

	(5;18]	(18;31]	(31;44]	(44;57]	(57;70]	(70;83]	(83;96]	(96;109]	(109;122]	(122;135]	(135;148]	(148;161]	(161;174]	(174;187]	(187;200]
пі	4	28	25	28	13	7	7	4	1	3	2	1	0	0	1

Інтервальний варіаційний ряд матиме вигляд:

	(5;18]	(18;31]	(31;44]	(44;57]	(57;70]	(70;83]	(83;96]	(96;109]	(109;122]	(122;135]	(135;148]	(148;161]	(161;174]	(174;187]	(187;200]
і	0,032	0,226	0,202	0,226	0,105	0,056	0,056	0,032	0,008	0,024	0,016	0,008	0,000	0,000	0,008

Для побудови графіка емпіричної функції розподілу складаємо таблицю нагромаджених відносних частот

	5	18	31	44	57	70	83	96	109	122	135	148	161	174	187	200
	0	0,032	0,258	0,46	0,685	0,79	0,847	0,903	0,935	0,944	0,968	0,984	0,992	0,992	0,992	1

Г істограма відносних частот та емпірична функція розподілу зображені на рис. 12.

Як видно з графіка, медіана потрапляє на інтервал . Оскільки ми вважаємо розподіл значень у середині кожного інтервалу рівномірним, то для знаходження медіани скористаємось рівністю , звідки . Аналогічно для знаходження квартилей маємо , . Тоді , а .