Границя функції в точці. Односторонні границі

Число а називають границею функції f, коли , (пишуть ), якщо .

Якщо , то функцію називають нескінченно малою, коли .

Якщо , а , то існують границі суми і добутку цих функцій у точці, причому і . Якщо крім того в деякому околі точки і , то існує границя їх частки і . Наприклад,

.

Справджуються рівності і , які називають відповідно першою і другою визначними границями.

Число а називають границею функції f, коли зліва, (пишуть ), якщо .

Число а називають границею функції f, коли справа, (пишуть ), якщо .

Якщо існує границя функції f в точці, то в цій точці існують правостороння і лівостороння границі функції f, причому всі три границі рівні між собою.

Якщо односторонні границі функції в деякій точці існують, але не дорівнюють одна одній, то границі функції в цій точці не існує.

Неперервність функції

Функцію називають неперервною в точці , якщо в цій точці існує границя функції f, причому .

Функцію називають неперервною зліва в точці , якщо в цій точці існує лівостороння границя функції f, причому .

Функцію називають неперервною справа в точці , якщо в цій точці існує правостороння границя функції f, причому .

Функцію називають неперервною на інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу. Функцію називають неперервною на відрізку , якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу , неперервна справа в точці а та неперервна зліва у точці b.

Якщо в точці існують скінчені односторонні границі функції f, але вони не дорівнюють одна одній або значенню функції в цій точці, то точку називають точкою розриву І роду. Якщо ж хоч одна з односторонніх границь функції f в точці не існує або нескінчена, то точку називають точкою розриву ІІ роду.

Якщо на деякому відрізку функція має скінчену кількість розривів І роду, то її називають кусково-неперервною на цьому відрізку.

Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці

Нехай функція , визначена і неперервна в деякому околі точки . Якщо існує границя , то цю границю називатимемо похідною функції f у точці і позначатимемо . Наприклад, якщо , то

.

Похідні основних елементарних функцій обчислюються за формулами.

Для обчислення похідних використовують такі правила диференціювання:

1) ;	4) ;
2) ;	5) ;
3) ;	6) .

Наприклад, .