Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій

Коваріаційною матрицею п-вимірного випадкового вектора називатимемо квадратну матрицю розмір­нос­ті п, елементами якої є парні коваріації компонент випадкового вектора Х. Коваріаційна матриця є симетричною (оскільки ), а еле­мен­та­ми головної діагоналі є дисперсії відповідних компонент випадкового вектора. Дійсно .

У попередньому прикладі коваріаційна матриця має вигляд

.

Оскільки коваріація двох незалежних компонент вектора дорівнює нулю, то коваріаційна матриця відображає структуру залежності компонент випадкового вектора Х. Зокрема, якщо всі компоненти випадкового вектора стохастично незалежні, то коваріаційна матриця діагональна.

Матрицю , складену з коефіцієнтів лінійної кореляції компонент та випадкового вектора Х, називають матрицею парних кореляцій або кореляційною матрицею. Як і коваріаційна матриця, вона є симетричною. Діагональні елементи кореляційної матриці дорівнюють 1. Кореляційна матриця випадкового вектора з незалежними компонентами є одиничною.

У попередньому прикладі матриця парних кореляцій має вигляд

.

Коваріаційна матриця пов’язана з матрицею парних кореляцій співвідношенням

,

де — діагональна матриця, елементами головної діагоналі якої є середні ква­дра­тичні відхилення відповідних компонент випадкового вектора. Зокрема, якщо компоненти вектора мають одиничні дисперсії, то і збігаються.

Вправа. Переконайтесь в істинності останнього співвідношення для наведених коваріаційної і кореляційної матриць.

Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева

Якщо випадкова величина має математичне сподівання М і середнє квадратичне відхилення σ, тоді для довільного має місце нерівність

(ІІ.31)

Нерівність (ІІ.31) називають нерівністю Чебишева. Вона дозволяє оцінити імовірність великого відхилення значення випадкової величини від свого математичного сподівання. Разом з нею розглядають нерівність

, (ІІ.32)

яка дозволяє оцінити ймовірність протилежної події.

Доведемо нерівність (ІІ.31). Дійсно, для дискретно розподіленої випадкової величини маємо

. Звідки .

Для неперервно розподіленої випадкової величини маємо

. Звідки , що і треба було довести.

Зауважимо, що нерівність Чебишева не передбачає інформації про характер розподілу випадкової величини. Якщо ж відомий розподіл випадкової величини, то можна не тільки оцінити, але й визначити імовірність відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання більше, ніж на задану величину.

Теорема Чебишева

Нехай випадкові величини — попарно незалежні і мають однакові математичні сподівання М і однакові обмежені дисперсії . Тоді для усередненої випадкової величини і для як завгодно малого справджується рівність

. (ІІ.33)

Дійсно випадкова величина має математичне сподівання М і дисперсію . Застосувавши до нерівність (ІІ.32) отримуємо

.    (ІІ.34)

Переходячи в останній нерівності до границі при , дістаємо (ІІ.33).

Зауважимо, що теорема Чебишева може бути поширена на випадкові величини з довільними математичними сподіваннями і довільними обмеженими в сукупності дисперсіями.

Суть теореми Чебишева полягає в тому, що хоча окремі випадкові величини можуть набувати далеких від свого математичного сподівання значень, однак для достатньо великого їх числа усереднена випадкова величина практично не відхиляється від свого математичного сподівання.

Теорема Чебишева має важливе практичне значення. При вимірюванні деякої величини результати вимірювань можна розглядати як випадкові величини . Всі вони попарно незалежні, мають однакове математичне сподівання і обмежені дисперсії, і якщо їх досить багато, то на підставі теореми Чебишева можна стверджувати, що середнє арифметичне цих вимірювань практично не відрізняється від істинного значення вимірюваної величини.

З іншого боку на теоремі Чебишева ґрунтується вибірковий метод досліджень. Для визначення характеристик великої сукупності досліджуваних об'єктів нема потреби досліджувати кожен з них. Достатньо вивчити порівняно невелику випадкову вибірку з цієї сукупності.