П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками

У психолого-педагогічних експериментах досліджувані об’єкти, як правило, характеризуються багатьма ознаками виміряними в різних шкалах, і для дослідника важливо встановити, чи пов’язані між собою ці ознаки, тобто чи можна за рівнем вираженості одних ознак судити про рівень вираженості інших.

Методи виявлення та оцінки залежності між досліджуваними ознаками істотно залежать від властивостей шкал, у яких виміряні ці ознаки. Так для перевірки статистичної залежності величин, виміряних у номінативних шкалах, використовують таблиці спряженості та критерій Фішера-Пірсона . Для величин, виміряних у порядкових шкалах, обчислюють коефіцієнт рангової кореляції, а для величин, що виміряні в інтервальній шкалі або в шкалі рівних відношень, — коефіцієнт лінійної кореляції за Пірсоном.

Зауважимо, що статистична відмінність від нуля коефіцієнта кореляції між ознаками свідчить про залежність між ними. Однак у багатьох випадках рівність коефіцієнта кореляції нулю ще не означає статистичну незалежність відповідних ознак.

Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах

Нехай одна з ознак має градацій номінативної шкали, які позначимо відповідно, а ознака має градацій номінативної шкали, які позначимо . Таблицю

			…		…
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	… ,
			…		…
…	…	…	…	…	…	…
			…		…

де — частота появи пари в серії спостережень, називають таблицею спряженості.

Якщо досліджувані ознаки незалежні, то незалежними мають бути і події та , тобто

.

Введемо позначення

.

Оскільки при достатньо великих п за законом Бернуллі , , а , то незалежність ознак і , забезпечуватиме виконання рівностей

Величини називатимемо сподіваними (або теоретичними) частотами розподілу випадкового вектора .

Перевірку узгодженості емпіричного розподілу з теоретичним здійснимо на основі критерію . Якщо виконується нульова гіпотеза (ознаки і — незалежні), то величина

матиме розподіл з ступенями вільності. Великі значення у конкретному експерименті свідчитимуть про залежність між ознаками і .

Для оцінки тісноти зв’язку між ознаками Карл Пірсон запропонував величину

,

яку називають коефіцієнтом спряженості Пірсона. Очевидно, що , причому для незалежних ознак . Однак , коли таблиця спряженості діагональна (абсолютна залежність ознак і ). Позбавлений цього недоліку запропонований Кра­ме­ром коефіцієнт

.

Приклад 38¹. Розподіл 1725 школярів, класифікованих за їх розумовими здібностями (А — розумово відсталий або повільний і тупий; Б — тупий; В — повільний але розумний; Г — достатньо розумний; Д — явно здібний; Е — дуже здібний) та якістю одягу (одягнений: а — дуже добре; б — добре; в — задовільно; г — погано), наведено в таблиці. Чи існує зв'язок між цими характеристиками?

Здібності Як одягається	А	Б	В	Г	Д	Е
а	33	48	113	209	194	39
б	41	100	202	255	138	15
в	39	58	70	61	33	4
г	17	13	22	10	10	1

Розв’язання: Сформулюємо статистичні гіпотези.

Н₀: Ознаки незалежні одна з одною.

Н₁: Ознаки пов’язані між собою.

О бчислення статистики проведемо в пакеті Excel. Для цього занесемо дані з умови задачі у блок кліток A1:G5. У блоці B6:G6 обчислимо суми частот по стовпчиках, а у блоці H2:H6 — по рядках. Отримані суми будуть частотами , та відповідно. Щоб обчислити величини , у клітку В7 занесемо формулу =B2^2/B$6/$H2 та скопіюємо її на блок B2:G10. Значення статистики знайдемо у клітинці Н11 записавши в ній формулу =(SUM(B7:G10)-1)*H6 . У клітинці Н12 знайдемо рівень її значущості, записавши формулу =CHIDIST(H11;15). У клітинці D12 за формулою =SQRT(H11/(H6+H11)) знайдемо коефіцієнт Р, а в клітинці F12 — коефіцієнт С за формулою =SQRT(H11/H6/3). На рис.30 наведено вигляд аркуша MS Excel.

Як бачимо, емпіричне значення статистики і має рівень значущості . Це дає підстави відхилити нульову гіпотезу і стверджувати, що досліджувані ознаки залежні. Обчислені коефіцієнти Р і С теж будуть статистично відмінними від нуля. Їх величина вказує на не дуже тісний зв'язок між досліджуваними ознаками, однак дати імовірнісну інтерпретацію цих коефіцієнтів важко.

Якщо вхідні дані задані у вигляді таблиці спостережень, то побудувати таблицю спряження та обчислити емпіричні значення статистик і їх рівні значущості у пакеті Statistica 6.0 можна за допомогою субмодуля Tables and banners модуля Basic Statistics/Tables. Вибрати види таблиць спряження (абсолютні чи відносні частоти) та необхідні статистики можна на закладці Option. Для виводу всіх вибраних даних слід натиснути кнопку Detailed two-way tables.