- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи обробки даних у психологічних і педагогічних експериментах.– Львів: Видавничий центр лну імені Івана Франка, 2006. – 168 с.
- •І. Основи теорії ймовірностей
- •Формула повної ймовірності
- •Формули Байєса
- •Задачі до розділу і.
- •Іі. Випадкова величина Поняття випадкової величини
- •Функція розподілу випадкової величини
- •Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини
- •Характеристики розподілу випадкової величини
- •Математичне сподівання випадкової величини
- •Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.
- •Квантилі
- •Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
- •Біномний розподіл
- •Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то
- •Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- •Умовні закони розподілу
- •Коваріація і коефіцієнт кореляції
- •Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій
- •Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева
- •Теорема Чебишева
- •Закон Бернуллі
- •Теорема Ляпунова
- •Задачі до розділу іі.
- •Ііі. Елементи математичної статистики
- •Генеральна сукупність і вибірка
- •Дискретний варіаційний ряд
- •Інтервальний варіаційний ряд
- •Точкові та інтервальні оцінки
- •Поняття про статистичну перевірку гіпотез
- •Задачі до розділу ііі.
- •Іv. Методи математичної обробки даних у психології Ознаки і змінні. Шкали вимірювання ознак
- •Перевірка гіпотези про однорідність вибірки
- •Перевірка гіпотези про узгодженість розподілів
- •Критерій Пірсона
- •Критерій Колмогорова
- •Критерій Смирнова
- •Перевірка гіпотези про рівність двох дисперсій
- •Виявлення відмінностей у рівні досліджуваної ознаки Критерій Розенбаума
- •Критерій Манна-Уітні
- •К ритерій Стьюдента
- •І. Вибірки взяті з однієї генеральної сукупності
- •Іі. Вибірки взяті з різних генеральних сукупностей
- •Перевірка наявності зсуву у значеннях досліджуваної ознаки
- •Критерій знаків
- •Критерій Вілкоксона
- •Парний t-тест Стьюдента
- •Перевірка впливу фактора на зміну рівня досліджуваної ознаки
- •Критерій Краскела-Уоллеса
- •Критерій тенденцій Джонкхієра
- •Критерій Фрідмана
- •К ритерій тенденцій Пейджа
- •Однофакторний дисперсійний аналіз
- •П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками
- •Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних в інтервальних шкалах
- •Задачі до розділу іv.
- •Критичні значення розподілу
- •Критичні значення розподілу Фішера-Снедекора
- •Критичні значення критерію Розенбаума
- •Критичні значення критерію Манна-Уітні
- •Критичні значення критерію знаків
- •Критичні значення критерію Вілкоксона
- •Критичні значення критерію Краскела-Уоллеса
- •Критичні значення критерію Джонкхієра
- •Критичні значення критерію Фрідмана
- •Критичні значення критерію Пейджа
- •Критичні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена
- •Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
- •Визначник матриці. Обернена матриця
- •Системи лінійних алгебричних рівнянь
- •Вступ до математичного аналізу
- •Числові послідовності та їх границі
- •Границя функції в точці. Односторонні границі
- •Неперервність функції
- •Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці
- •Диференційовність функції
- •Монотонність функції. Екстремуми
- •Похідні вищих порядків
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
- •В изначений інтеграл
- •Невластиві інтеграли
- •Частинні похідні функцій багатьох змінних
- •Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
- •Алфавітний покажчик
- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи аналізу даних у психологічних і педагогічних експериментах
Диференційовність функції
Якщо приріст функції f в точці можна представити у вигляді
,
де А — деяка константа, а — нескінченно мала, коли , то функцію f називають диференційовною в цій точці.
Диференціалом функції f в точці називають головну лінійну частину її приросту . Для малих приростів аргумента приріст диференційовної функції практично не відрізняється від її диференціала.
Кожна диференційовна в точці функція є неперервною в цій точці.
Необхідною і достатньою умовою диференційованості функції в точці є інування в цій точці її похідної. Для диференційовної функції справджується рівність . Оскільки , то похідну функції в точці можна записати у вигляді .
Пряма є дотичною до графіка диференційовної в точці функції f у цій точці.
Функція називається диференційовною на інтервалі , якщо вона диференційована в кожній точці цього інтервалу.
Монотонність функції. Екстремуми
Для неперервних на відрізку та диференційовних на інтервалі функцій справджується формула скінчених приростів Лагранжа
,
де — деяка внутрішня точка інтервалу .
Як видно з останньої формули, якщо похідна функції на деякому інтервалі додатна (від’ємна), то функція монотонно зростає (спадає) на цьому інтервалі.
Точка є точкою локального мінімуму (локального максимуму) функції , якщо існує окіл цієї точки, для кожної точки х якого виконується нерівність . Точки локальних мінімумів та локальних максимумів функції називають точками її локальних екстремумів.
Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції не існує або існує і дорівнює нулеві, називають критичними точками функції.
Необхідною умовою існування в даній точці локального екстремуму диференційовної функції є рівність нулю її похідної в цій точці. Достатньою умовою існування в даній точці екстремуму функції є зміна знака її похідної при переході через цю точку.
Найбільше та найменше значення неперервної на відрізку функції досягається в її критичних точках або на кінцях відрізка.
Похідні вищих порядків
Якщо похідну функції , диференційованої в точці х, розглядати як функцію цієї точки, то отримаємо функцію . Похідною п-го порядку функції f будемо називати похідну її похідної п – 1 порядку:
.
Якщо функція має похідні до порядку в околі точки , то її приріст у цій точці можна записати за формулою Тейлора
,
де . Формула Тейлора дає змогу замінити знаходження значення достатню кількість раз диференційовної функції обчисленням значення відповідного їй многочлена. Зокрема для
.
Це дає підстави стверджувати, що функція f буде опуклою вниз (графік функції лежить вище від дотичної в точці ), якщо , і опуклою вгору (графік функції лежить нижче від дотичної), якщо .
Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
Функцію називають первісною до функції на множині Х, якщо на цій множині.
Оскільки , де С — довільна стала, то будь-яка функція також є первісною до функції f.
Легко бачити, що будь-які дві первісні функції f відрізняються лише на константу. Справді, якщо і , то за формулою скінчених приростів Лагранжа , і тому . Отже, .
Сукупність всіх первісних функції називають невизначеним інтегралом функції f і позначають . Очевидно .
Невизначений інтеграл має такі властивості.
1. . |
4. . |
2. . |
5. . |
3. |
Нижче наведено таблицю основних невизначених інтегралів.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для обчислення невизначеного інтеграла використовують формулу заміни змінної
та формулу інтегрування частинами
.
Розглянемо приклади.
1.
.
2.
.
3. .