1.7. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Как было установлено, основной характеристикой внутреннего состояния любых систем (твердых, жидких или газообразных), состоящих из достаточно большого числа частиц-молекул, является температура. Такие системы, основной характеристикой внутреннего состояния которых является температура, называются термодинамическими. С другой стороны, простейшей (не равной нулю) характеристикой молекулярного движения является средний квадрат скорости.

Более привычной величиной, содержащей эту характеристику, является средняя кинетическая энергия молекулыили просто кинетическая энергия.

(1.34)

Очевидно, что m₀— масса одной молекулы.

Разумно предположить, что температура и средняя энергиямолекулярного движения—внутренняя энергия, приходящаяся на одну молекулу, должны быть связаны между собой.

Эта связь иТимеет самый простой — простейший вид. Оказывается, чтосредняя энергия хаотического движения молекул (бывает и направленное — «ветер»)газа прямо пропорциональна температуре. Весь дальнейший длинный вывод нужен для определения коэффициента пропорциональности. Попутно, однако, выявляется много нового. Итак, в путь!

Чтобы установить эту связь, вспомним, что температура связана с другими характеристиками газа уравнением состояния или

(1.35)

Параметры: р— давление,V— объем,ν— количество вещества (в молях), наряду с температурой, являются характеристиками газа в целом.

Такие характеристики называются макроскопическими— «большими». С другой стороны, такие величины, как масса одной молекулыт₀; скорость(V_x;V_у;V_z), следовательно, квадрат скоростиV², являются характеристикой одной молекулы, и их, естественно, называютмикроскопическими. Выпишем:

макроскопические характеристики		микроскопические характеристики
Давление, объем, температура, масса газа, плотность и количество вещества, равное общему числу молекул, отнесенному к числу Авогадро (или равное массе газа, отнесенной к молярной массе).		Масса молекулы, три проекции скорости на оси координат и образованный из них квадрат скорости .

Оказывается, что легче всего связать с микроскопическими характеристиками давление. С одной стороны,давлениер₌F/S, т. е. сила, действующая со стороны газа на единицу площадиSповерхности стенок сосуда, окружающего газ. С другой стороны, очевидно, что сила действия газа на стенку возникает из-за ударов молекул (рис. 1.14).

Рис. 1.14.Удар молекулы о стенку, перпендикулярно направленную ее движению

Найти:р— ?Дано:m₀;V²;N;V.

Решение.

(1.36)

где F — сила действия всех N молекул.

Силу действия всех молекул Fможно выразить через силу действия на стенку одной молекулыf. Запишем:

(1.37)

где Z — число ударов молекул о стенку площадью S за время t. Знак усреднения в этой формуле необходим. Прибор, измеряющий давления, сам (будучи макроскопическим — «большим») производит усреднение. Если бы была возможность поставить прибор, который регистрировал бы «каждый» удар отдельно, то на графике зависимости давления от времени появилась бы «мелкозубая пила» (рис. 1.15).

Рис. 1.15.Превращение микроскопической характеристики в макроскопическую

В действительности прибор не успевает столь быстро реагировать. С другой стороны, характеристики «зубчиков» никого не интересуют. Поэтому давление — среднее значение. Перефразируя Григория Сковороду, скажем: «Сложное — не нужно, а ненужное — сложно». Впрочем, не все с этим согласны.

Перейдем к вычислению числа Z ударовмолекул о стенкуза время t. Соударение со стенкой испытают все молекулы, которые за время tуспеют долететь до стенки. Долететь же они успеют с расстоянияV_xt, т. к. движение можно считать равномерным. (Сил взаимодействия во время движения нет — это одно из приближений идеального газа, см. рис. 1.12.) С большего расстояния молекулы не успевают долететь до стенки. Объем, из которого молекулы долетают до стенки (рис. 1.16), равенV_xtS(произведение длиныV_xtна площадьS). В этом объеме находятсяnV_xtSмолекул; произведениеконцентрацииn ₌ N/Vмолекул на только что подсчитанный объем, из которого молекулы долетают до стенки.

Рис. 1.16.К вычислению числа молекул, сталкивающихся со стенкой. Заштрихован объем, из которого молекулы долетают до стенки

Однако о стенку ударит только половина этого числа. Другая половина имеет V_xкомпоненту скорости, направленную от стенки, и летит в противоположном направлении.

Итак,

(1.38)

Теперь вычислим силу действия одной молекулы, которая, имея скорость V_x, ударяет о стенки. Прежде всего, отметим, что для анализа движения такой молекулы будет применяться механика Ньютона. Для столь малого объекта, как молекула, применимость механики требует оговорки, ведь установлена механика Ньютона (классическая механика) на основе рассмотрения движения макроскопических тел. Считается, что в идеальном газе, где молекулы рассматриваются, как малые шарики, такое приближение применимо. Кроме того, принимают, что в идеальном газе взаимодействие на малых расстояниях считается бесконечно сильным, упругим (см. п. 2.6).

Удобно вообще не анализировать, «что там происходит при ударе молекулы о стенку», а учесть изменение импульса:

(1.39)

как разность импульса в конечном состоянии m₀V_х (после удара) и импульса в начальном состоянии (до удара) т₀V_0x. «Упругость» проявляется в том, что начальная и конечная скорости равны по величине, но противоположны по направлению: V_0x = –V_x. Тогда сила удара молекулы о стенку будет

(1.40)

Вычисляем силу действия всех молекул газа на стенку:

(1.41)

Видим, что время tсократилось, значит, сила действия молекул газа на стенкупостоянная. Все величины в формуле силы постоянные, кроме скоростиV_x. Как и следовало ожидать, в макроскопическую характеристику, силу, вошелсредний квадрат скорости движения молекулы. Как уже указывалось (см. рис. 1.13), средний квадрат скоростей молекул в любой момент времени равен среднему квадрату скорости одной молекулы за достаточно длительное время. Это утверждение, как уже указывалось, называетсяэргодической гипотезой. Принимаем эту гипотезу. Она верна!

До сих пор рассматривались молекулы со скоростями, параллельными оси x. Реально, конечно, молекулы могут иметь произвольно направленные скорости (рис. 1.17).

Рис. 1.17.Скорость в пространстве

Введение осей — дело рук человеческих. Молекулы «не знают», как мы провели и обозначили оси. Можно было, например, направить ось x, какy, ay— какx. Поэтомухаотичность движения проявляется в том, что в среднем:

(1.42)

Нужная нам проекция:

(1.43)

Тогда давление на стенку будет

(1.44)

Обратим внимание на правильность чтения. Например, читается «средний квадрат проекции скорости на осьх». Прочесть «квадрат средней скорости» — неверно! Квадрат средней проекции скоростиравен нулю.

Так как давление зависит от скорости (пусть от среднего квадрата скорости), то сила давления pS— не консервативна, т. е. работа этой силы зависит от способа (от пути), которым совершается эта работа.

Итак, давлениепрямопропорциональносреднемуквадратускорости.

Теперь можно записать и результат — основное уравнение молекулярно-кинетической теории газа:

(1.45)

где, вспомним, — средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа,

(1.46)

Главный результат можно сформулировать так: давление пропорционально средней энергии молекул газа и концентрации этого газа.

(1.47)

Учет реальности газа, такой как учетсобственного объема молекулилипарных взаимодействий, не изменит того, что произведениеpV(может быть несколько измененное) пропорционально энергии молекул газа.