- •Академия
- •Глава 1. Идеальный газ Тема
- •1.1. Тепловые явления. Характеристики тепловых явлений
- •1.2. Свойства газа, полученные на опыте
- •1.3. Уравнение состояния идеального газа
- •1.4. Изопроцессы
- •1.4.1. Изотермический процесс
- •1.4.2. Изобарный процесс
- •1.4.3. Изохорный процесс
- •1.5. Массы, размеры, энергии в мире молекул. Основные положения молекулярно-кинетической теории
- •1.5.1. Доказательства существования молекул
- •1.5.2. Движение молекул
- •1.5.3. Взаимодействие молекул
- •1.5.4. Твердые, жидкие и газообразные тела
- •1.6. Молекулярные основы теории идеального газа
- •1.7. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
- •1.8. Температура — мера средней кинетической энергии молекул
- •1.9. Растворенное вещество как идеальный газ
- •1.10. Реальные газы
- •Главное в главе 1
- •Глава 2. Термодинамика Тема
- •2.1. Первое начало термодинамики
- •2.1.1. Изохорный процесс
- •2.1.2. Изобарный процесс
- •2.1.3. Изотермический процесс
- •2.2. Адиабатный процесс
- •2.3. Энтропия
- •2.4. Второе начало термодинамики
- •Главное в главе 2
- •Глава 3. Статистика молекул Тема
- •3.1. Скорости молекул. Опыт Штерна
- •3.2. Распределение молекул по скоростям
- •3.3. Вероятность
- •3.4. Распределение Больцмана
- •3.4.1. Распределения молекул под действием силы тяжести
- •3.4.2. Распределение молекул по проекциям скоростей их движения
- •3.5. Распределение Максвелла
- •3.6. Наиболее вероятная скорость. Метод анализа размерностей
- •3.7. Барометрическая формула
- •3.8. Термоэлектричество. Термопара
- •3.8.1. Электроны у поверхности металла
- •3.8.2. Контактная разность потенциалов
- •Главное в главе 3
- •Глава 4. Явления переноса Тема
- •4.1. Длина свободного пробега молекулы
- •4.2. Диффузия. Закон Фика
- •4.3. Диффузия как случайное блуждание
- •4.4. Теплопроводность
- •4.5. Трение. Вязкость — внутреннее трение
- •Главное в главе 4
- •Глава 5. Молекулярная физика жидкой и твердой фаз, явлений на границе фаз и фазовых превращений Тема
- •5.1. Поверхностное натяжение
- •5.1.1. Методы исследования поверхностного натяжения жидкости
- •5.1.2. Адсорбция
- •5.1.3. Поверхностно-активные вещества. Применение поверхностно-активных веществ в фармации
- •5.2. Давление под изогнутой поверхностью жидкости. Формула Лапласа
- •5.3. Процессы испарения и конденсации
- •5.4. Капиллярные явления
- •5.4.1. Смачивание
- •5.4.2. Зависимость давления насыщенного пара от кривизны поверхности жидкости
- •5.4.3. Капиллярная конденсация. Гигроскопические материалы
- •5.5. Твердые тела. Аморфные и кристаллические твердые тела
- •5.6. Фазы. Равновесие фаз. Фазовые переходы
- •5.6.1. Сублимация (испарение)
- •5.6.2. Плавление и кристаллизация
- •5.6.3. Размягчение и стеклование
- •5.7. Жидкокристаллическое состояние вещества
- •5.8. Кристаллические модификации
- •5.8.1. Полиморфные превращения, их роль в изменении свойств фармацевтических препаратов
- •5.9. Теплоемкость твердых тел
- •5.9.1. Закон Дюлонга и Пти
- •5.9.2. Понятие о квантовой теории твердых тел
- •5.10. Механические свойства твердых тел
- •5.10.1. Упругость и пластичность
- •5.10.2. Особенности строения и свойства эластомеров
- •Главное в главе 5
3.5. Распределение Максвелла
Распределение Максвелла — это распределение молекулпо модулю,повеличине скорости. Так как по величине скорость определяется тремя ее проекциями, а проекции могут иметь независимые значения, то согласно правилу перемножения вероятностей (см.п. 3.3) имеем:
(3.24)
Конечно, при записи этой формулы использован и принцип(распределение)Больцмана. Распределение по направлениям может быть «уничтожено» интегрированием по угламθиφ, определяющим направление вектора скорости. Очевидно, что
(3.25)
Этот результат можно было предвидеть в соответствии с законом Больцмана. Ведь Wк = m0V2/2.
Теперь выразим dVxdVydVzчерез модуль скорости и углы, задающие ее направление. Для этого используем, что произведениеdxdydz— это элемент объема («малый объем»). Также иdVxdVydVz— малый объем в пространстве скоростей.
Переход от Vx; Vy; Vz— проекций скоростей в декартовых координатах (см. рис. 3.5и3.9) к модулю скоростии угламθ иφсовершенно аналогичен переходу от декартовых координатх;у;zк сферическим координатам с расстояниемr2 = х2 + у2 + z2и теми же угламиθиφ(рис. 3.10).
Рис. 3.9.Переход от проекций скоростейVx; Vy; Vzк модулю скоростиV
Рис. 3.10.Переход от декартовых координатx,y,zк сферическимr,θ,φ
Сравнивая рис. 3.9и3.10, видим, что переход от элемента объема в пространстве скоростей в декартовых координатахdVxdVydVz,к элементу объема также в пространстве скоростей,, но выраженному через модуль скоростиVи углыθиφ, полностью аналогичен (совпадает!) с переходом от элемента объема в декартовых координатахdxdydz(рис. 3.11) к элементу объемав сферических координатах (рис. 3.12)
(3.26)
Рис. 3.11.Элемент объемаdxdуdzв декартовой системе координат. В пространстве скоростей ему соответствуютdVxdVydVz
Рис. 3.12.Элемент объемаdr⋅rdθ⋅r sinθdφв сферических координатах. В пространстве скоростей ему соответствуетdV⋅Vdθ⋅Vsindφ
Очевидно, что для перехода от «пространства координат» к «пространству скоростей» (см. рис. 3.12) нужно заменитьхнаVх,унаVу,zнаVz, радиус-векторна вектор скорости, а радикальную координатуна модуль скорости. Тогда элемент объема в пространстве скоростейdVxdVydVzпреобразуется в
(3.27)
Легко провести интегрирование по углам.
Интегрируем
(3.28)
и записываем формулу, позволяющую вычислить вероятность, что молекула имеет скорость с величиной, лежащей в интервале между V и V + dV.
(3.29)
Распределение вероятности имеет вид (рис. 3.13):
(3.30)
Рис. 3.13.Распределение Максвелла
Именно это распределение и называется распределением Максвелла. Количество молекул, имеющих скорость, лежащую междуVиV+dV, будет:
(3.31)
а функция распределения количества молекул, соответственно,
(3.32)
Как видно из формулы (3.30), вид кривой распределения зависит от природы молекул (в формулу входит молярная массаМ) и от температуры. Нарис. 3.14приведены кривые распределения молекул азота по скоростям при различных температурах. При повышении температуры вся кривая смещается в сторону больших скоростей (положение максимума, т. е.Vнв пропорционально). Площади под этими кривыми остаются, конечно, неизменными и равными единице, ведь это сумма всех вероятностей того, что молекулы имеют хоть какую-нибудь скорость. Вследствие этого максимум кривой при повышении температуры уменьшается.
Рис. 3.14.Распределение Максвелла для данного газа при нескольких температурах