Главное в главе 2

Результаты, изложенные в данной главе, собраны в табл. 4.1.

Глава 3. Статистика молекул Тема

Вероятность, распределение Максвелла, распределение Больцмана, седиментация, термоЭДС, термопара.

3.1. Скорости молекул. Опыт Штерна

Соотношение между кинетической энергией молекулы и температурой можно использовать для определения среднеквадратичной скорости. Действительно,

(3.1)

(Здесь V — это не V ₌ V – х ₌ 0.) По определению среднеквадратичной скоростью называется квадратный корень из среднего квадрата скорости.

Для воздуха вокруг нас подставляем: число степеней свободы i₌5, молярная массаМ₌29⋅10^–3кг/моль (воздух на 80 % азот), температуру беремt≈ 22С, т. е.Т₌295 К,

(3.2)

Когда Больцман в конце XIXв. провел такие вычисления и получил подобные цифры, то все, кто понимал что-нибудь в этих делах, «очень засомневались». Человек передвигается не быстрее 10 м/с — это мировой рекорд в беге на 100 метров. Ураган — самое быстрое из движений воздуха — 40 м/с. «Неужели молекулы летят так быстро?» — спрашивали скептики.

Требовался прямой опыт. Опыты по измерению скоростей молекул проделал Отто Штерн в 1920 г.

По оси латунного цилиндра (рис. 3.1) натянута тонкая платиновая нить, покрытая слоем серебра. Пропусканием электрического тока нить раскаляется до 1200 °С и серебро испаряется во все стороны. Вокруг нити — цилиндрик малого радиусаrс узкой продольной щелью. Этот цилиндрик жестко скреплен с охватывающим его большим цилиндром радиусаR. Вся система находится под колпаком, из-под которого воздух выкачан.

Рис. 3.1.Схема опыта по определению скоростей молекул. Схема опыта Штерна: 1 — цилиндр (радиусR); 2 — цилиндрик (радиусr); 3 — нить; 4 — щель

Если цилиндры неподвижны, то поток атомов серебра осядет на внешнем цилиндре в виде узкой полосы А. Если оба цилиндра вращать с угловой скоростьюω, то атомы серебра попадут уже не вА, а вА'. Ведь расстояние (R–r) от щели до стенки большого цилиндра атомы, летящие со скоростьюV, проходят за времяt₌(R–r)/V. За это время цилиндр повернется на уголφ₌ωt.

Измеряя этот угол φ, зная угловую скоростьωи радиусы цилиндровRиr, вычисляют скорость атомов. Измеренные таким образом значения скорости атомов оказались близкими к результатам вычислений по формулам (3.1) и (3.2).Опыты Штерна подтвердили теорию Больцмана.Опыты Штерна дали и гораздо больше.

Важно отметить, что при покоящихся цилиндрах полоска в месте Абыла узкой. Если же цилиндры вращались, полоса в местеА'получилась довольно широкой. Дело в том, что атомы серебра вылетают с различными скоростями, и медленные атомы попадают на мишень с большим смещением. Измерения размытой полосы подтвердили правильность распределения Максвелла (см.п. 3.5).

3.2. Распределение молекул по скоростям

Так как тепловое движение — хаотическое (беспорядочное), то скорости молекул имеют всевозможные случайныезначения, различающиеся по величине и направлению (имеют всевозможные проекции, например, на осьх). До сих пор удавалось обходиться среднеквадратичной скоростью, главное свойство которой заключалось в том, что кинетическая энергия, пропорциональная среднему квадрату скоростиV², сама прямо пропорциональна температуреТ. Для одной молекулы (массойт₀) двухатомного газа

(3.3)

где

(3.4)

Напомним, эта величина называется постоянной Больцмана.

Отсюда среднеквадратичная скорость молекулярного движения

(3.5)

прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молярной массы газа.

Если необходимо характеризовать скорости молекул (или другие их характеристики) более подробно, то нужно использовать методы статистики. Статистика — наука о качественныххарактеристиках массовых объектов (здесь молекул), имеющих случайные свойства. Основные методы статистики — это методытеории вероятностей. В основе слова «статистика» (statistics) можно увидеть корень «state» (штат, государство). Массовые явления нужно анализировать, чтобы понимать процессы в государстве. Существует огромная область физики и химии —статистическая физика. Здесь будут рассмотрены лишь отдельные элементы этой науки.

Итак, удобно молекулы разделить на группы с близкими скоростями — скоростями, лежащими в интервалеотVдоdV. Всего молекул в газеN, а молекул со скоростями в заданном интервале будетdN. Так как молекул «много», то иN— велико, иdN— велико. Поэтому удобно характеризовать тепловое движение «долей» молекул, имеющих скорости отVдоΔV. Такая доляdN/N— это отношение числа молекул, имеющих скорость, близкую к требуемой, к общему числу молекул.

Очевидно, что чем больше интервал скоростей dV≈ΔV, в который входят молекулы изdN≈ΔN, тем и само число молекул со скоростями в этом интервалеdNтоже больше. Короче, доляΔN/Nпрямо пропорциональнаΔV— интервалу скоростей. Коэффициент пропорциональности между долей молекул газаdN/N, имеющих скорость, близкую к какой-то (любой, но одной) скоростиVи интервалом скоростейΔV, в котором скорости считаются «близкими», зависит уже только от самой этой избранной скорости, обозначаетсяF(V) и называетсяфункцией распределения.

(3.6)

Конечно, функцией распределения можно характеризовать не только величины (модули) скоростей, но и, например, проекции скорости на любую ось (назовем ее осью x):

(3.7)

Функции распределения различных величин — характеристик множества молекул, несколько различаются, но в главном они одинаковы. Мало молекул с «крайними» характеристиками. Мало очень «быстрых» и мало очень «медленных». Вот с какими-то «средними» значениями скорости (модуля скорости) молекул будет «много» (рис. 3.2).

Рис. 3.2.Распределение молекул по скоростям (по величинам скоростей)

Также и молекул, быстро летящих вдоль оси xкак в положительном, так и в отрицательном направлении, будет немного, а молекул с малыми проекциями скоростей (т. е. с большими проекциями на другие оси) гораздо больше (рис. 3.3).

Рис. 3.3.Распределение молекул по проекциям скорости

Такой вид функций распределения подтверждается на опыте.

Рассмотрим физический смысл функции распределения F(V). Пусть газ содержитNмолекул. Найдем число молекулdN, скорости которых имеют значение отVдоV+dV. Очевидно, площадь, закрашенная нарис. 3.4, есть вероятность обнаружения таких молекул, т. е. их относительное числоdN/N.

Рис. 3.4.Физический смысл функции распределения Максвелла: закрашенная площадь — доля молекул со скоростями отVдоV+dV

Поскольку величина закрашенной площади равна F(V)dV, то

(3.8)

Таким образом, число молекул со скоростями в интервале (V,V+dV) равно

dN ₌ NF(V)dV. (3.9)