6.9.3. Побудова графіків функцій з умовами і вирішення нелінійних рівнянь
Розглянемо побудову графіка функції з однією умовою на конкретному прикладі. Як приклад візьмемо наступну функцію:
Для цього необхідно наприклад, ввести в стовпець А починаючи з комірки А1 арифметичну прогресію від 0 до 1 з кроком 0,1. Дані в стовпці А будуть значеннями аргументу функції. У комірці В1 необхідно ввести формулу =ЕСЛИ(A1<0,5;(1+ABS(0,2-A1))/(1+A1+A1^2); A1^(1/3)) по якій обчислюватиметься значення функції.
Далі необхідно зробити табулювання функції до рядка з останнім аргументом. Для цього необхідно встановити курсор на комірку В1, потім встановити покажчик миші на маркер заповнення цієї комірки і протягнути його вниз (у даному прикладі до комірки В11).
Для побудови графіка функції використовується майстер діаграм. При побудові графіка функції в першому діалоговому вікні майстра діаграм слід вибрати графік з маркерами. При виборі графіка з маркерами значення аргументу будуть розміщені на осі X а значення функції на осі У.
Вид діаграми слід вибирати такий, щоб значення функції з'єднувалися згладжуючими лініями.
Після роботи з майстром діаграм ви повинні отримати графік функції (рис.6.40).
Рисунок 6.40. Графік функції з однією умовою
Побудову графіка функції з двома умовами розглянемо на прикладі наступної функції:
Графік будується так само, як і при побудові графіка з однією умовою, тільки в комірку В1 вводиться формула:
=ЕСЛИ(A1<0.2;1+LN(1+A1);ЕСЛИ(І(A1>=0.2;A1<=0.8); (1+A1^(1/2))/(1+ A1);2*EXP(-2*A1))).
В комірку В1 можна ввести і простішу формулу, яка приведе до того ж результату:
=ЕСЛИ(A1<0.2;1+LN(1+A1);ЕСЛИ(A1<=0.8;(1+A1^(1/2))/(1+A1);2*EXP(-2*A1)))
Графік функції приведений на рис. 6.41.
.
Рисунок 6.41. Графік функції з двома умовами
Побудова графіків двох функцій в одній системі координат. Це питання розглянемо на наступному прикладі. Хай нам необхідно побудувати в одній системі координат графіки двох функцій:
.
У комірки A1, В1 і С1 введемо X, У і Z, відповідно.
У діапазон комірок А2:A17 введемо значення змінної x від -3 до 0 з кроком 0,2, в комірки В2 і С2 вводимо формули =2*SIN(A2) і =3*COS(2*A2) -SIN(A2).
Далі необхідно виділити діапазон В2:C2, і протягнути його вниз так щоб заповнити діапазон В2:C17.
Для побудови графіків функцій скористаємося майстром діаграм. Для цього виділимо діапазон комірок В1:C17, до якого внесені: таблиця значень двох функцій, заголовки стовпців В і C, і завантажимо майстра діаграм. На першому кроці майстра діаграм необхідно вибрати тип діаграми График. Вид діаграми бажано вибрати графік з маркерами, що позначають точки даних. На другому кроці треба вказати діапазон даних загального аргументу функцій та їх імена. На третьому кроці вказуємо заголовки функцій.
Графіки функцій приведені на рис. 6.42.
Рисунок 6.42. Два графіка в одній системі координат
Побудова поверхні. Розглянемо приклад побудови поверхні по наступній функції:
Для побудови поверхні необхідно ввести в діапазон комірок (у рядок) B1:L1 арифметичну прогресію в інтервалі від -1 до 1, з кроком 0,2, для змінної x. У діапазон А2:A12 необхідно ввести таку ж арифметичну прогресію, для змінної у в стовпець. Для обчислення значення z, в комірку В2 ввести формулу: =B$1^2-$A2^2. Далі необхідно виділити цю комірку, встановити покажчик мишки на маркер заповнення і протягнути її так, щоб заповнити діапазон B2:L12. Для побудови поверхні використовується майстер діаграм. У майстрові діаграм на першому кроці вибрати тип діаграми - Поверхня, а вид поверхні перший. Графік функції поверхні наведений на рис. 6.43.
Рисунок 6.43. Графік функції поверхні
Рішення нелінійних рівнянь. Розглянемо приклад знаходження всіх корнів рівняння:
Відзначимо, що поліном третього ступеня має не більше трьох дійсних корнів. Для знаходження корнів рівняння їх заздалегідь потрібно локалізувати. З цією метою необхідно побудувати графік функції або її протабулювати. Наприклад, протабулюємо наш поліном на відрізку [-1, 1] з кроком 0.2. Для цього в стовпець А, починаючи з комірки А2 введемо значення аргументу від -1 до 1 з кроком 0,2. У комірку введемо формулу =A2^3-0,01*A2^2-0,044*A2 + 0,39104, потім протягнемо її до рядка з останнім аргументом. У комірки А1 і В1 доцільно ввести позначення аргументу через х а функції через у відповідно. Результат табуляції приведений на рис. 6.44.
Рисунок 6.44. Результат табуляції функції
З малюнка видно, що поліном міняє знак на інтервалах: [-1, -0.8], [0.2, 0.4], [0.6, 08]. Це означає, що на кожному з цих інтервалів є корінь рівняння. Як початкові значення наближень до корнів можна взяти будь-які точки на відрізку локалізації корнів. Виберемо середні значення: -0.9, 0.3, 0.7 і введемо їх в діапазон С2:С4. Для обчислення значень функції при цих значеннях коріння в комірку D2 введемо формулу: =C2^3-0.01*C2^2-0.7044*C2+0.139104 і протягнемо її на діапазон D2:D4. У комірках діапазону D2:D4 будуть обчислені наближені значення функції.
Для точнішого обчислення необхідно задати відносну погрішність і граничне число ітерацій. Відносна погрішність обчислень і число ітерацій задаються на вкладці Вычисления діалогового вікна Параметры, що відкривається командою Сервис ► Параметры. Відносну погрішність задамо рівною 0,00001 а граничне число ітерацій рівним 1000.
Далі необхідно виконати команду Сервис ► Подбор параметра, щоб обчислити точніше значення коренів рівняння. Цю команду необхідно застосовувати тричі, щоб обчислити три корені рівняння.
На початку у вікні Подбор параметра встановлюють в комірці D2 значення 0 а змінну комірку указують С2. Після клацання на кнопці ОК в комірці С2 буде значення першого кореня яке рівне -0,919999. Аналогічні дії робимо для комірок D3, С3; D4, C4 і знаходимо інші значення корнів рівняння: 0,20999 і 0,71999.