4.2.Метод трапецій

Для зменшення методичної похибки - апроксимація функції прямою лінією (заміна криволінійної трапеції прямолінійною) [2, 6]. В цьому випадку, площа елементарної прямолінійної трапеції (рис.4.3,а):

Ітр = [f(a) + f(b)](b-а) / 2.		(4.3)
Рис.4.3. До методу трапецій (а) та Симпсона (б).

Якщо інтервал інтегрування розбито на n підінтервалів з відліками функції y_i (і = 0, 1, ..., n), то загальний інтеграл визначають за формулою:

.

(4.4)

Задача 4.2. Проінтегрувати функцію f = x² на інтервалі [0, 1] методом трапецій з розбивкою на 2 підінтервала.

Розв’язок. Результати розрахунків наведені в таблиці. У відповідності до (4.4):

При цьому, відносна похибка розрахунку складає:

.

Похибка розрахунку визначеного інтеграла методом трапецій значно меньша похибки метода прямокутників з вибором відліку функції на межах та співвимірна з похибкою метода прямокутників при виборі відліку функції в середині підінтервала інтегрування.

Фрагмент програми Trap розрахунку визначенного інтеграла методом трапецій наведено нижче .

h:=(b-a)/n; x:=a+h; I1:=(F(a)+F(b))/2; for i:=1 to n-1 do begin I1:=I1+F(x); x:=x+h; end; I1:=I1*h; writeln(I1:12:5);

Результати розрахунку визначеного інтеграла методом трапецій для різної кількості n = 10, 100, 1000 підінтервалів інтегрування наведені в таблиці.

n	x	Значення інтеграла	Відносна похибка розрахунків
10	0.100000	0.33500	0.00500
100	0.010000	0.33335	0.00005
1000	0.001000	0.33333	0.00000

Значення відносної похибки близьке до похибки методу прямокутників з вибором відліку функції у середині підінтервала.

4.3.Метод Симпсона

Метод Симпсона [2, 6] грунтується на нелінійній (квадритичній) апроксимації функції на відрізку [х₀, х₂], що в середині має точку х₁ (див. рис.4.2). Елементарний інетеграл від функції шукають у вигляді полінома другого порядку y = ax² + bx + c.

Відповідно до методу невизначених коефіціентів для значень 0, h, 2h аргумента значення коефіціентів визначаються через розвязання системи рівнянь:

4h2	2h	1		a		y2
h2	h	1		b	=	y1	.
0	0	1		c		y0

Якщо вибрані точки не співпадають (h 0), то визначник матриці Вандермонда  = 4h²h - 2hh² = 2h³ 0 і система рівнянь має розв’язок:

	y2	2h	1
а =	y1	h	1	/ =	y2 h + y0 2h - y0 h – y12h	=	y0 - 2y1 + y2	.
	y0	0	1		2h3		2h2

	4h2	y2	1
b =	h2	y1	1	/ =	y14h2 + y0h2 - y04h2 – y2h2	=	-3y0 + 4y1 - y2	.
	0	y0	1		2h3		2h

	4h2	2h	y2
c =	h2	h	y1	/ =	y04h3 – y02h3	= y0.
	0	0	y0		2h3

Невизначений інтеграл від параболічної функції в інтервалі [0, 2h]:

Складові визначеного інтегралу від параболи в межах від 0 до 2h:

Таким чином, значення елементарного інтеграла від криволінійної трапеції, інтерпольованої параболою, визначається формулою:

Підсумовування трьох криволінійних трапецій показує певну закономірність у чергуванні коефіцієнтів при відліках функції:

S₁ = (y₀ + 4y₁ + y₂)

S₂ = (y₂ + 4y₃ + y₄)

S₃ = (y₄ + 4y₅ + y₆)

S₁ +S₂ +S₃ = 1y₀ +4y₁ +2y₂ +4y₃ +2y₄ + 4 y₅ +1 y₆.

Таким чином, загальне значення І_С визначеного інтегралу за методом Симпсона для n=2m (n завжди парне) підінтервалів визначається формулою:

ІС = (у0 + 4у1 + 2у2 + 4у3 + 2у4 + ... + 4у2m-1 + у2m).

(4.5)

Задача 4.3. Проінтегрувати функцію f = x² на інтервалі [0, 1] методом Симпсона з розбивкою на 2 підінтервала.

Розвязок. У відповідності до (4.5):

І_С = [f(a) + 4 f(a+h) + f(b)] h/3 = [0 + 4  ¼ + 1]  0.5 / 3 = 1/3.

Аналітичне значення інтегралу у межах від 0 до 1:

.

Таким чином, методична похибка інтегрування квадратичної функції за методом Симпсона дорівнює 0.

Задача 4.4. Проінтегрувати за методом Симпсона функцію у=х² в інтервалі [0, 6] з кроком h=1.

Розв’язок. Результати попередніх розрахунків наведені в таблиці:

х	0	1	2	3	4	5	6
у = х2	0	1	4	9	16	25	36
k	1	4	2	4	2	4	1
y*k	0	4	8	36	32	100	36

Таким чином, розраховане за методом Симпсона значення інтегралу

Аналітичне значення інтегралу у межах від 0 до 6

.

Таким чином, чисельне інтегрування квадратичної функції з великим кроком за методом Симпсона методичної похибки не дало.

Задача 4.5. Проінтегрувати за методом Симпсона функцію у=х⁴ в інтервалі [0, 6] з кроком h=1.

Розв’язок. Результати попередніх розрахунків наведені в таблиці:

x	0	1	2	3	4	5	6
y=х4	0	1	16	81	256	625	1296
k	1	4	2	4	2	4	1
y*k	0	4	32	324	512	2500	1296

Значення інтегралу за методом Симпсона

Аналітичне значення інтегралу у межах від 0 до 6 складає

Для заданої біквадратної функції чисельне інтегрування за методом Симпсона дало методичну похибку 0.05%.

Фрагмент програми Symp розрахунку визначенного інтеграла методом Симпсона наведено нижче.

x:=a+h; { 1. Розрахунок суми непарних складових} s4:=0; while x<b do begin s4:=s4+F(x); x:=x+2*h; end; x:=a+2*h; { 2. Розрахунок суми парних складових} s2:=0; і:=2; while і<n do begin s2:=s2+F(x); x:=x+2*h; i:=i+2 end; I1:=(F(a)+4*s4+2*s2+F(b))*h/3; { 3. Розрахунок інтеграла } writeln(I1:12:5);

Результати інтегрування функції f = x⁴ на інтервалі [0, 1] методом Симпсона за допомогою програми Symp з розбивкою на 2, 4, ... 32 підінтервали наведені в таблиці.

n	x	Значення інтеграла	Відносна похибка розрахунків
2	0.500000	0.20833	0.04167
4	0.250000	0.20052	0.00260
8	0.125000	0.20003	0.00016
16	0.062500	0.20000	0.00001
32	0.031250	0.20000	0.00000

Результати засвідчують, що вже для числа підінтервалів 16 відносна методична похибка інтегрування функції f = x⁴ не перевищує 10^-5.