5.4.Метод опорного елементу

Метод опорного елементу [6, 7] грунтується на послідовному еквівалентному перетворенні початкової системи рівнянь з матрицею коефіціентів А шляхом видалення із неї непотрібних невідомих. Формально це відповідає викресленню рядків та стовпчиків матриці коефіціентів та трансформації матриці у відповідності до формули Гауса:

,

(5.7)

де k – номер невідомого (рядка та стовпчика), що видаляється. Метод має важливе значення як для розвязання систем равнянь, так і для розрахунку еквівалентних параметрів багатополюсних компонентів.

Задача 5.8. Виконати перетворення матриці А для k =3 і розрахувати значення невідомих х₁ і х₂.

	1	-1	0	3			2/3	-1/3	3
А В=	-1	3	-1	0	 [Ã В] =		-1/3	5/3	0
	0	-1	2	0

Подальше розвязання системи [ÃВ] дає:

х1=	3	-1/3	/1= 5;	х2=	2/3	3	/1= 1.
	0	5/3			-1/3	0

Тут подвійні вертикальні лінії означають визначник матриці. Результат співпадає з тим, що отримано методами Гауса та Жордана.

6.Ітераційні методи розвяЗувАння систем лінійних рівнянь

Для розрідженний матриць, де більшість рівнянь має невелику кількість ненульових коефіціентів, більш ефективні непрямі, ітераційні методи [1, 2]. Для таких систем і розміри памяті потрібні менші, ніж при використанні прямих методів.

Ітераційні обчислювальні схеми для систем лінійних рівнянь АХ=В грунтуються на приведенні останніх до вигляду:

.

(6.1)

Нехай і-те рівняння системи АХ=В має вигляд:

а_і1 x₁ + а_і2 x₂ + … + а_in x_n = b_i.

Якщо розділити на а_іі та перенести всі добутки, крім x_і у праву частину, то рівняння набере вигляду:

.

Або в матричній формі

Х = С Х + G,

де С = Е – А* - трансформована квадратна матриця коефіціентів; Е – одинична матриця; А* - матриця, що зберігає нормовані відносно а_іі рівняння матриці А; G – нормований відносно а_іі вектор В.

Ітераційні обчислювальні процеси не завжди збігаються (сходяться) до розв'язку системи рівнянь. Область, вибір початкових значень змінних в якій приводить до розвязку системи рівнянь, називають областю сходимості. Із збільшенням кількості змінних область сходимості зменшується і у випадку великих систем сходимість забезпечується лише за умови, що початкові значення змінних достатньо близькі до розвязку системи. Умови сходимості можуть бути виражені через коефіціенти системи рівнянь:

№	Умова збіжності обчислювального процесу	(6.2)
1
2
3

Основними ітераційними методами розв’язання систем лінійних рівнянь, що використовують сиcтему (6.2) є методи одночасної заміни (метод Якобі) та послідовної заміни (метод Гауса-Зейделя) параметрів.