5.2.1.Обернення матриці методом Жордана

Методом Жордана може бути використаний для обернення матриці. Для цього розвязується система рівнянь з кількома стовпчиками вільних членів вигляду АХ = Е, де Х=А^-1 – сукупність стовпчиків оберненої матриці.

Задача 5.6. Методом Жордана виконати обернення матриці із задачі 5.1.

Розв’язок. Нормування рівняння та перетворення матриці А для k =1:

Нормування другого рівняння та перетворення для k =2:

Нормування третього рівняння та перетворення матриці для k =3:

Таким чином, обернена відносно А матриця має вигляд:

що відповідає результату, отриманому раніше методом Гауса.

Програма Jordan_ов, що реалізує метод Жордана для обернення матриці із задачі 5.6 наведена нижче:

Program Jordan_ов;

uses CRT;

const n=3;

A: array [1..n,1..2*n] of real=(( 1, -1, 0, 1, 0, 0),

(-1, 3, -1, 0, 1, 0),

( 0, -1, 2, 0, 0, 1));

var i,j,k: integer;

g: real;

BEGIN

ClrScr;

for i:=1 to n do { 1. виведення початковоi матрицi }

begin

for j:=1 to 2*n do write(a[i,j]:7:2);

writeln

end;

for k:=1 to n do { 2. Jordan }

begin g:=a[k,k];

for j:=k to 2*n do a[k,j]:=a[k,j]/g;

for i:=1 to n do

if i<>k then

begin g:=a[i,k];

for j:=k to 2*n do a[i,j]:=a[i,j]-g*a[k,j];

end;

end;

writeln;

for i:=1 to n do { 3. виведення перетвореноi матрицi }

begin

for j:=1 to 2*n do write(a[i,j]:7:2);

writeln

end;

readln

END.

Результати виконання програми Jordan_ов обернення матриці методом Жордана мають вигляд:

1.00 -1.00 0.00 1.00 0.00 0.00

-1.00 3.00 -1.00 0.00 1.00 0.00

0.00 -1.00 2.00 0.00 0.00 1.00

1.00 0.00 0.00 1.67 0.67 0.33

0.00 1.00 0.00 0.67 0.67 0.33

0.00 0.00 1.00 0.33 0.33 0.67

Це відповідає раніше отриманим результатам.

5.3.Метод lu-факторизації

Метод LU-факторизації (LU-розкладання) грунтується на відображенні матриці коефіфціентів початкової системи рівнянь AX=B (det A  0) у вигляді L(UX)=B, де L і U – відповідно верхня та нижня трикутні матриці, і розвязання двох спрощених систем рівнянь LZ=B і UX=Z. Метод забезпечує можливість багатоваріантного аналізу з однією матрицею коефіціентів системи і різними стовпчиками вільних членів. В деяких випадках метод LU-розкладання забезпечує більш точне розвязання системи рівнянь, ніж метод Гауса [7, 9].

Нехай

.

Таким чином:

a11 = L11	a12 = L21U12	a13 = L11U13
a21 = L21	a22 = L21U12 + L22	a23 = L21U13 + L22U23
a31 = L31	a32 = L31U12 + L32	a33 = L31U13 + L32U23+ L33

Із співставлення коефіціентів випливають формули розрахунку елементів матриць L i U:

; .

(5.5)

Розвязання систем LZ=B i UX=Z виконується відповідно формулам:

; ; .

(5.6)

Задача 5.7. Методом LU-факторизації розвязати систему рівнянь АХ=В, де

Розв’язок. Відповідно до (5.5) коефіцієнти матриць L і U:

L11= a11 = 1;	u12 = a12 /L11 = = -1/1 = -1;	u13 = a13/L11 = 0/1 = 0;
L21= a21= -1;	L22= a22- L21U12= = 3–(-1)(-1)= 2;	u23 = (a23 – L21U13)/L22 = =(-1 –(-1)0)/2= -1/2;
L31= a31= 0;	L32= a32- L31U12 = = -1 -0(-1)= -1;	L33= a33- L31U13- L32U23 = =2- 00–(-1)(-1/2)= 3/2;

Таким чином, в результаті перетворення:

Cистемa LZ = B має вигляд:

а її розвязок відповідно до (5.6):

z₁= b₁ /L₁₁ = 3 /1 = 3;

z₂= (b₂-L₂₁z₁ )/L₂₂ = (0-(-1)3 )/2 = 3/2;

z₃= (b₃-L₃₁z₁-L₃₂z₂)/L₃₃ = (0-03-(-1)3/2)/(3/2)= 1.

Cистемa UХ= Z має вигляд:

а її розвязок відповідно до (5.6):

х3= х2= х1=

z3 z2- u23z3 = z1- u12z2-u13z3 =

= 3/2-(-1/2)1 = 3-(-1)2- 01 =

1; 2; 5.

Таким чином, отриманий загальний розвязок системи рівнянь співпадає з її розвязком за методом Гауса.

Програма LU_fact, що реалізує метод LU-факторизації для розв’язання системи рівнянь із задачі 5.7, наведена нижче:

Program LU_fact;

uses CRT;

const

a: array [1..3,1..3] of real = (( 1,-1, 0),

(-1, 3,-1),

( 0,-1, 2));

b: array [1..3] of real = ( 3, 0, 0);

n=3;

var z, x: array [1..3] of real;

s:real;

i, j, k: integer;

BEGin

clrscr; writeln(' A|B-matrix:');

for i:=1 to n do { 1. Print AB-matrix }

begin for j:=1 to n do write( a[i][j]:9:6);

writeln( b[i]:11:6);

end;

for i:=1 to n do { 2. Factorisation }

for j:=1 to n do

if(i>=j) then

begin s:=0;

for k:=1 to j-1 do s:=s+a[i][k]*a[k][j];

a[i][j]:=a[i][j]-s;

end else

begin s:=0;

for k:=1 to i-1 do s:=s+a[i][k]*a[k][j];

a[i][j]:=(a[i][j]-s)/a[i][i];

end;

writeln; writeln(' LU|B-matrix:');

for i:=1 to n do { 3. Print LU-matrix}

begin for j:=1 to n do write(a[i][j]:9:6);

writeln( b[i]:11:6);

end;

writeln;

for i:=1 to n do { 4. LZ=B}

begin s:=b[i];

for j:=1 to i-1 do s:=s-a[i][j]*z[j];

z[i]:=s/a[i][i];

writeln('z', i, '=', z[i]:6:3);

end;

writeln; { 5. UX=Z }

for i:=n downto 1 do

begin s:=z[i];

for j:=i+1 to n do s:=s-a[i][j]*x[j];

x[i]:=s;

writeln('x', i, '=', x[i]:6:3);

end;

readln;

END.

Результати виконання програми LU_fact наведені нижче:

A|B-matrix:

1.000000 -1.000000 0.000000 3.000000

-1.000000 3.000000 -1.000000 0.000000

0.000000 -1.000000 2.000000 0.000000

LU|B-matrix:

1.000000 -1.000000 0.000000 3.000000

-1.000000 2.000000 -0.500000 0.000000

0.000000 -1.000000 1.500000 0.000000

z1=3.000000

z2=1.500000

z3=1.000000

x3=1.000000

x2=2.000000

x1=5.000000

Результати розв’язання системи співпадають із отриманими раніше.