6.2.Метод Гауса-Зейделя
Головний недолік метода Якобі полягає у тому, що для заміни попереднього вектора змінних треба отримати повний вектор нових значень, що не тільки потребує більше памяті для зберігання попереднього і нового векторів змінних, але й сповільнює сходимість розрахунків [6]. Тому розрахунки виконуються за формулою:
|
(6.4) |
.Фрагмент програми Gauss-Zadel, що реалізує метод Гауса-Зейделя наведений нижче.
Repeat writeln; write('it=',it:2); for i:=1 to n do Begin x1:=b[i]; kl:=0; for j:=1 to n do begin x1:=x1+a[i,j]*x[j]; if abs(x1-x[i])>0.001 then kl:=1; x[i]:=x1; end; write(x1:9:3); End; Until kl=0; |
Результати розрахунку системи із задачі 5.5 методом Гауса-Зейделя наведені в таблиці:
it |
Х1 |
х2 |
х3 |
0 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
1 |
3.000 |
1.000 |
0.500 |
2 |
4.000 |
1.500 |
0.750 |
3 |
4.500 |
1.750 |
0.875 |
4 |
4.750 |
1.875 |
0.938 |
5 |
4.875 |
1.938 |
0.969 |
6 |
4.938 |
1.969 |
0.984 |
7 |
4.969 |
1.984 |
0.992 |
8 |
4.984 |
1.992 |
0.996 |
9 |
4.992 |
1.996 |
0.998 |
10 |
4.996 |
1.998 |
0.999 |
11 |
4.998 |
1.999 |
1.000 |
12 |
4.999 |
2.000 |
1.000 |
13 |
5.000 |
2.000 |
1.000 |
При застосуванні метода Гауса-Зейделя для заданої задачі обчислювальний процес зійшовся удвічи швидше порівняно з методом Якобі.
6.3.Метод послідовної верхньої релаксації
Метод верхньої релаксації – це розвиток метода Гауса-Зейделя [6]. В основі метода лежить послідовне зменшення залишка (різниці між поточним і точним значеннями) для кожного невідомого. Він базується на лінійній екстраполяції між двома кроками послідовного заміщення. Нові значення невідомих розраховуються за формулою
|
(6.5) |
xi(k+1)
=
xi(k)
+
w(xi(k+1)
- xi(k)),де xi(k+1), що записане праворуч – значення змінної, розрахованої за методом Гауса-Зейделя; w – релаксаційний множник (1 w 2).
Фрагмент програми Relax, що реалізує метод верхньої релаксації навендено нижче.
Repeat writeln; write('it=',it:2); kl:=0; for i:=1 to n do Begin x1:=b[i]; for j:=1 to n do x1:=x1+a[i,j]*x[j]; dx:= w*(x1-x[i]); x[i]:=x[i]+dx; write(x[i]:9:3); If abs(dx)>0.001 then kl:=1; End; Until kl=0; |
Результати розвязання системи рівнянь (6.1) для w = 1.2 і точності =0.001 наведено у таблиці:
t |
х1 |
х2 |
х3 |
0 |
0.000 |
0.000 |
0.000 |
1 |
3.600 |
1.440 |
0.864 |
2 |
4.608 |
1.901 |
0.968 |
3 |
4.959 |
1.991 |
1.001 |
4 |
4.997 |
2.001 |
1.000 |
5 |
5.002 |
2.001 |
1.000 |
6 |
5.000 |
2.000 |
1.000 |
При застосуванні метода послідовної верхньої релаксації з коефіцієнтом w = 1.2 обчислювальний процес зійшовся удвічи швидше порівняно з методом Гауса-Зейделя.