5.1.3.Обернення матриці методом Гауса

Наявність при моделюванні РЕА оберненної матриці А^-1 (відносно початкової матриці А) дозволяє отримати розвязок системи рівнянь АХ=В у вигляді Х=А^-1В [2, 5], а також розрахувати похідні схемних функцій по параметрах компонентів РЕА без методичної похибки [9].

Відомо [10], що

,

(5.4)

де  = det(A) – визначник матриці А; _ij – алгебраїчні доповнення елементів матриці А; Â – союзна, або приєднувальна матриця.

Обернення можливе лише у випадку, коли А - добре обумовлена матриця, тобто det(A)0. Безпосереднє використання (5.4) потребує багато часу для розрахунку визначників. Використання ж методів Гауса та Жордана дозволяє значно прискорити процес обернення матриці.

Обернення матриці методом Гауса грунтується на одночасному розвязанні системи рівнянь з кількома стовпчиками вільних членів. Наприклад, для матриці третього порядку:

,

де сукупність стовпчиків невідомих і складають обернену матрицю А^-1.

Задача 5.4. Методом Гауса виконати обернення матриці із задачі 5.1.

Розв’язок. Розширена матриця коефіцієнтів на етапах перетворення початкової матриці в трикутну, а стовпчиків вільних членів в обернену наведені нижче:

.

Зворотній хід для трьох стовпчиків вільних членів дає матрицю, обернену до початкової:

Перевірка результату показує:

Обернення матриці виконано вірно.

5.2.Метод Жордана

Метод Жордана – модіфікація метода Гауса, що дозволяє отримати розвязок системи рівнянь без зворотнього ходу - ґрунтується на перетворені початкової матриці коефіцієнтів у еквівалентну одиничну матрицю Е.

Алгоритм розвязання системи рівнянь методом Жордана потребує:

1. покласти номер провідного рівняння k=1;

2. пронормувати k-е рівняння за формулою

3. вибрати i-е (i  [1, n]; i  k) рівняння для перетворення;

4. виконати перетворення і-го рівняння за формулою

5. якщо не всі рівняння перетворені, то перейти до п.3 для вибору наступного рівняння;

6. якщо не всі рівняння з номером k[1, n] пронормовані, то покласти k= k + 1 і перейти до п.2.

Задача 5.5. Методом Жордана розвязати систему рівнянь АХ=В, де

Розв’язок. Нормування та перетворення розширеної матриці для k =1:

Нормування та перетворення системи рівнянь для k =2:

Нормування та перетворення системи рівнянь для k =3:

Таким чином, вектор невідомих становить що співпадає з розвязком цієї ж системи методом Гауса.

Програма Jordan, що реалізуєя метод Жордана для попереднього прикладу, наведена нижче.

Program Jordan;

uses CRT;

const n=3;

A: array [1..n,1..n+1] of real=(( 1, -1, 0, 3),

(-1, 3, -1, 0),

( 0, -1, 2, 0));

var i,j,k: integer;

g: real;

BEGIN

ClrScr;

for k:=1 to n do

begin g:=a[k,k];

for j:=k to n+1 do a[k,j]:=a[k,j]/g;

for i:=1 to n do

if i<>k then

begin g:=a[i,k];

for j:=k to n+1 do

a[i,j]:=a[i,j]-g*a[k,j];

end;

end;

for i:=1 to n do { виведення матрицi }

begin

for j:=1 to n+1 do write(a[i,j]:5:1);

writeln

end;

writeln; { виведення результату }

for i:=1 to n do writeln('x',i,' = ',a[i,n+1]:5:3);

readln

END.

Результати виконання програми:

1.0 0.0 0.0 5.0

0.0 1.0 0.0 2.0

0.0 0.0 1.0 1.0

x1 = 5.000

x2 = 2.000

x3 = 1.000

Це відповідає результатам, отриманим раніше.